Kruskal重构树学习笔记

引言

其实很早就学了，但是用的不多一直没有补。做题时突然，想起来了补一下。

感觉Kruskal重构树也算一种数据节构吧。为什么要单独拎出来讲呢？因为感觉博客园里这个知识点讲的都不说很清楚，大家好像都对这个知识点嗤之以鼻（？原谅我语文不好）。新开一个会好找一点。 最后无耻宣一下：数据节构专题学习笔记。

基本信息

• 性质：

  在这棵树上节点u到节点v的LCA是原图u到v路径上边权最值。且如果原图连通这棵树保证为二叉树，共有 \(2N-1\) 个节点。从小到大构建时，父亲权值不小于儿子；从大到小构建时，父亲权值不大于儿子。

  其实此类问题也可以用并查集按秩合并+可持久化来维护，但重构树的优点在于可以套树剖、线段树等静态树结构。

• 建树过程：
  类似执行最小生成树算法(Kruskal) ，但不直接连边，而是在新图中创建节点代表这条边。具体过程：遍历每条边(u,v,w) 并维护一个并查集。如果uv不联通：新建节点。在并查集里找到u和v的根节点：ru，rv。新建节点将ru和rv合并，把根节点设为该节点。这棵树就是Kruskal重构树。

• code

  #include <bits/stdc++.h>
  #define int long long
  using namespace std;
  const int N=3e5*2+10;
  struct EDGE{int u,v,w;}edge[N];int tot=0;
  void addedge(int u,int v,int w){edge[++tot]={u,v,w};}
  bool cmp(EDGE x,EDGE y){return x.w>y.w;}
  int fa[N],w[N],trfa[N],dep[N],lg[N];int stfa[N][20];
  int fid(int x) {if(x!=fa[x])fa[x]=fid(fa[x]);return fa[x];}
  void init(int n,int m) {
  	for(int i=2;i<3e5;i++)lg[i]=lg[i/2]+1;
  	for(int i=1;i<=n+m;i++){trfa[i]=i;fa[i]=i;}
  }
  int LCA(int u,int v) {
  	if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
  	while(dep[u]>dep[v]){int k=lg[dep[u]-dep[v]];u=stfa[u][k];}
  	if(u==v) return u;
  	for(int k=lg[dep[u]];k>=0;k--) 
  		if(stfa[u][k]!=stfa[v][k]){u=stfa[u][k];v=stfa[v][k];}
  	return trfa[u];
  }
  signed main() {
  	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
  	int n,m; cin>>n>>m; init(n,m) ;
  	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){cin>>u>>v>>w[i]; addedge(u,v,w[i]);}
  	//-----------建树过程-----------
  	sort(edge+1,edge+1+m,cmp) ;
  	for(int i=1;i<=m;i++) {
  		int u=edge[i].u,v=edge[i].v;
  		int fau=fid(u),fav=fid(v);
  		if(fau==fav) continue;
  		n++ ;
  		w[n]=edge[i].w;
  		trfa[fau]=trfa[fav]=fa[fau]=fa[fav]=n;
  	} // 在重构树中加入新节点
  	for(int i=n;i>=1;i--) dep[i]=dep[trfa[i]]+1;
  	for(int i=1;i<=n;i++) stfa[i][0]=trfa[i];
  	for(int i=1;i<=19;i++)
  		for(int u=1;u<=n;u++) 
  			stfa[u][i]=stfa[stfa[u][i-1]][i-1]; //初始化
  	int Q; cin>>Q;
  	while(Q--) {
  		int u,v; cin>>u>>v;
  		if(fid(u)!=fid(v)) cout<<"-1\n";
  		else cout<<w[LCA(u,v)]<<"\n"; // 朴素LCA
  	}
  	//-----------EOF-----------
  	return 0; 
  }
  

  高清无注释版

  #include <bits/stdc++.h>
  #define int long long
  using namespace std;
  const int N=3e5*2+10;
  struct EDGE{int u,v,w;}edge[N];int tot=0;
  void addedge(int u,int v,int w){edge[++tot]={u,v,w};}
  bool cmp(EDGE x,EDGE y){return x.w>y.w;}
  int fa[N],w[N],trfa[N],dep[N],lg[N];int stfa[N][20];
  int fid(int x) {if(x!=fa[x])fa[x]=fid(fa[x]);return fa[x];}
  void init(int n,int m) {
  	for(int i=2;i<3e5;i++)lg[i]=lg[i/2]+1;
  	for(int i=1;i<=n+m;i++){trfa[i]=i;fa[i]=i;}
  }
  int LCA(int u,int v) {
  	if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
  	while(dep[u]>dep[v]){int k=lg[dep[u]-dep[v]];u=stfa[u][k];}
  	if(u==v) return u;
  	for(int k=lg[dep[u]];k>=0;k--) 
  		if(stfa[u][k]!=stfa[v][k]){u=stfa[u][k];v=stfa[v][k];}
  	return trfa[u];
  }
  signed main() {
  	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
  	int n,m; cin>>n>>m; init(n,m) ;
  	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){cin>>u>>v>>w[i]; addedge(u,v,w[i]);}
  	sort(edge+1,edge+1+m,cmp) ;
  	for(int i=1;i<=m;i++) {
  		int u=edge[i].u,v=edge[i].v;
  		int fau=fid(u),fav=fid(v);
  		if(fau==fav) continue;
  		n++ ;
  		w[n]=edge[i].w;
  		trfa[fau]=trfa[fav]=fa[fau]=fa[fav]=n;
  	}
  	for(int i=n;i>=1;i--) dep[i]=dep[trfa[i]]+1;
  	for(int i=1;i<=n;i++) stfa[i][0]=trfa[i];
  	for(int i=1;i<=19;i++)
  		for(int u=1;u<=n;u++) 
  			stfa[u][i]=stfa[stfa[u][i-1]][i-1];
  	int Q; cin>>Q;
  	while(Q--) {
  		int u,v; cin>>u>>v;
  		if(fid(u)!=fid(v)) cout<<"-1\n";
  		else cout<<w[LCA(u,v)]<<"\n";
  	}
  	return 0; 
  }