模板集合2

前言 ：记录学过的所有模板，有些比较远古还重新打了一遍。总需要留下点什么。按重要程度（主观）排序。CTRL+F 查找。很显然，有很多待补充的。（等我学到那再说吧）

数论

• 快速幂

  int fpow(int a,int b) {
  	int ans=1;
  	while(b) {
  		if(b&1) {ans*=a ;ans%=m ;}
  		b>>=1 ;
  		a=(a*a)%m;
  	}return ans%m ;
  }
  

• 欧拉筛

  void getprime(int n) {
  	no_prime[0]=no_prime[1]=1; 
  	for(int i=2;i<=n;i++) {
  		if(no_prime[i]==0) prime.push_back(i) ;
  		for(auto pj:prime) {
  			if(pj*i>n) break ;
  			no_prime[pj*i]=1 ;
  			if(i%pj==1) break ;
  		}
  	}
  }
  

• 组合数学

  预处理

  for(int i=0;i<=N;i++) for(int j=0;j<=i;j++) {
  	if(j==0||j==i) c[i][j]=1; 
  	else c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod ;
  }
  

  直接计算

  int C(int x,int y){
  	if(x<y||y<0)return 0;
  	return f[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
  }
  

• 分解质因数

  void getprimefactor(int n){
  	for(int i=2;i*i<=n;i++){
  		int cnt=0;
  		while(n%i==0) {cnt++;n/=i;}
  		a[i]+=cnt;
  	}
  	if(n>1) a[n]++ ;
  }
  

• 扩展欧几里得 (exgcd)

  int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
  	if(b==0) {x=1,y=0 ;return a;}
  	int g=exgcd(b,a%b,x,y) ;
  	int t=x; x=y;y=t-a/b*y ;
  	return g;
  }
  void sovle() {
  	int a,b,c; cin >>a>>b>>c ;
  	int g=__gcd(a,b) ;
  	if(c%g!=0) {cout <<"-1\n";return ;}
  	int x,y;exgcd(a,b,x,y) ;
  	int x0=x*c/g,y0=y*c/g;//特解
  	int xmin=(x0%(b/g)+b/g)%(b/g) ,ymin=(y0%(a/g)+a/g)%(a/g) ;//最小解
  	if(xmin==0) xmin=b/g;
  	if(ymin==0) ymin=a/g;
  	int xmax=(c-b*ymin)/a, ymax=(c-a*xmin)/b;//最大解
  	int len=(xmax-xmin)/(b/g)+1 ;//个数
  	if(xmax<=0&&ymax<=0) {cout <<xmin <<" "<<ymin<<"\n" ;return;}
  	cout <<len<<" "<<xmin<<" "<<ymin <<" "<<xmax<<" "<<ymax<<"\n";
  }
  

• 大步小步(BSGS)

  \(b^l \equiv n \pmod p\) 给定b，n，p 求l
  不保证p为质数

  int bsgs(int a,int b){
  	a%=mod;b%=mod;
  	if(b==1)return 0;
  	int m=ceil(sqrt(mod));
  	unordered_map<int,int>has;
  	int t=b;
  	for(int j=0;j<m;j++){
  		has[t]=j;
  		t=t*a%mod;
  	}//b*(a^j)
  	int mi=fpow(a,m);
  	t=1;
  	//查a^{i*m}是否在map中
  	for(int i=1;i<=m;i++){
  		t=t*mi%mod;
  		if(has.count(t)) return i*m-has[t] ;
  	}
  	return -1;
  }
  

  保证p为质数

  int exbsgs(int a,int b,int p){
  	a%=p;b%=p; 
  	if(b==1||p==1) return 0;
  	int d,k=0,aa=1;
  	while(1){
  		d=__gcd(a,p) ;
  		if(d==1) break; 
  		if(b%d!=0) return -1;
  		k++ ;b/=d;p/=d;
  		aa=aa*(a/d)%p;
  		if(aa==b) return k;
  	}
  	int m=ceil(sqrt(p)) ;
  	int t=b;
  	unordered_map<int,int> mp;
  	for(int i=0;i<m;i++) {mp[t]=i; t=t*a%p;}
  	int mi=fpow(a,m,p) ;
  	t=aa ;
  	for(int i=1;i<=m;i++) {
  		t=t*mi%p ;
  		if(mp.count(t)) return i*m-mp[t]+k;
  	}
  	return -1;
  } 
  

• Lucas定理

  给定n ,m ,p\(C_{n + m}^n \bmod p\) 保证 \(p\) 为质数。

  int Lucas(int n,int k,int mod) {
  	if(k==0) return 1 ; 
  	return C(n%mod,k%mod)*Lucas(n/mod,k/mod,mod)%mod ;
  } 
  

• 欧拉函数

  预处理

  void getphi(int n) {
  	phi[1]=1;
  	for(int i=2;i<=n;i++) {
  		if(no_prime[i]==0){
  			prime.push_back(i) ;
  			phi[i]=i-1;
  		}
  		for(int j=0;j<(int)prime.size();j++) {
  			int m=i*prime[j];
  			if(m>n) break ;
  			no_prime[m]=1;
  			if(i%prime[j]==0){ 
  				phi[m]=phi[i]*prime[j] ;
  				break ;
  			}phi[m]=phi[i]*phi[prime[j]] ;
  		}
  	}
  }
  

  直接求

  int getphi(int x){
  	int ans=x;
  	for(int i=2;i*i<=x;i++) {
  		if(x%i==0) {
  			ans=ans/i*(i-1) ;
  			while(x%i==0) x/=i;
  		}
  	}
  	if(x>1) ans=ans/x*(x-1) ;
  	return ans ;
  }
  

• 错排问题

  d[2]=1; d[3]=2; 
  for(int i=4;i<=n;i++) d[i]=(i-1)*(d[i-1]+d[i-2])%mod ;
  

• 威尔逊定理

  题目：\(S_n=\Sigma_{k=1}^n\lfloor\frac{(x-1)!+1}{x}-\lfloor\frac{(x-1)!}{x}\rfloor\rfloor\)

  定理:$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p} $ p为质数

  for(int i=1;i<=n;i++) {
  	if(no_prime[i]==0) table[i]=table[i-1]+1;
  	else table[i]=table[i-1] ;
  }
  

其余杂板

• 并查集

  void init(int n){for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;}
  int fid(int x) {if(fa[x]!=x)fa[x]=fid(fa[x]); return fa[x];}
  void unio(int x,int y) {int fax=fid(x) ,fay=fid(y) ;if(fax!=fay) fa[fay]=fax ;}
  

• ST表

  void init(int n) {
  	for(int i=2;i<=n;i++) lg[i]=lg[i/2]+1 ;
  	for(int i=1;i<=20;i++) for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++) 
  		st[i][j]=max(st[i-1][j],st[i-1][j+(1<<(i-1))]) ;
  }
  int RMQ(int l,int r) {
  	int k=lg[r-l+1] ;
  	return max(st[k][l],st[k][r-(1<<k)+1]) ;
  }
  

• 单调栈

  while(tot>0&&a[stk[tot]]<=a[i]) tot-- ;
  ans[i]=tot?stk[tot]:0 ;
  stk[++tot]=i ;
  

• 单调队列

  int q[N],head=0,tail=-1;
  for(int i=1;i<=n+1;i++) {
  	while(head<=tail&&i-q[head]>m) head++;
  	while(head<=tail&&a[q[tail]]<a[i]) tail--;
  	q[++tail]=i;
  }
  

• 线性基

  #include <bits/stdc++.h>
  #define int long long
  using namespace std ;
  const int N=55 ;
  int a[N],xxj[N] ;
  signed main() {
  	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0) ;
  	int n; cin>>n; 
  	for(int i=1;i<=n;i++) {
  		cin>>a[i] ;
  		for(int lg=49;lg>=0;lg--) if((a[i]>>lg)&1) {
  			if(xxj[lg]>0) a[i]^=xxj[lg] ;
  			else {xxj[lg]=a[i] ;break ;}
  		}
  		
  	}
  	int ans=0 ;
  	for(int lg=49;lg>=0;lg--) if(((ans>>lg)&1)==0) ans^=xxj[lg] ;
  	cout<<ans ;
  	return 0;
  }
  

• 矩阵 (矩阵乘 & 矩阵快速幂)

  struct Matrix{
  	int matrix[110][110] ,n,m;
  	Matrix(int nn,int mm) {n=nn; m=mm; memset(matrix,0,sizeof(matrix)) ; return ;}
  	int *operator[](int i) {return matrix[i] ;}
  	void init() {
  		memset(matrix,0,sizeof(matrix)) ;
  		for(int i=1;i<=n;i++) matrix[i][i]=1;
  	}
  	void print() {
  		for(int i=1;i<=n;i++){ 
  			for(int j=1;j<=m;j++) cout<<matrix[i][j]<<' ' ;
  			cout<<"\n" ;
  		}
  	}
  };
  Matrix operator +(Matrix a,Matrix b) {
  	for(int i=1;i<=a.n;i++) for(int j=1;j<=a.m;j++) a[i][j]+=b[i][j]; 
  	return a ;
  }
  Matrix operator *(Matrix &a,Matrix &b) {
  	Matrix c(a.n,b.m) ;
  	for(int i=1;i<=a.n;i++) for(int j=1;j<=b.m;j++) for(int l=1;l<=a.m;l++) 
  		(c[i][j]+=a[i][l]*b[l][j]%mod)%=mod;
  	return c; 
  }
  Matrix operator %(Matrix a,int mod) {
  	for(int i=1;i<=a.n;i++) for(int j=1;j<=a.m;j++) a[i][j]%=mod; 
  	return a;
  }
  Matrix operator ^(Matrix a,int b) {
  	Matrix c(a.n,a.m) ;
  	c.init() ;
  	while(b) {
  		if(b&1) c=c*a%mod;
  		a=a*a%mod; b>>=1; 
  	}
  	return c; 
  }
  

• 高精度 (+-*)

  #include <bits/stdc++.h>
  //#define int long long
  using namespace std ;
  const int N=2e4+100  ;
  struct SuperInt {
  	int d[N],lenth ;
  	int& operator[](int i) {return d[i] ;}
  	SuperInt(){memset(d,0,sizeof(d)); lenth=1;}
  	void print() {for(int i=lenth;i>=1;i--) cout<<d[i];}
  	void init(string s) {
  		lenth=s.size() ;
  		for(int i=1;i<=lenth;i++) d[i]=s[lenth-i]-'0' ;
  	}
  	void fixadd() {
  		for(int i=1;i<lenth;i++) {d[i+1]+=d[i]/10;d[i]%=10;}
  		while(d[lenth]>=10) {
  			d[lenth+1]+=d[lenth]/10 ;
  			d[lenth]%=10;
  			lenth++;
  		}
  	}
  	void fixsub() {
  		for(int i=1;i<lenth;i++) if(d[i]<0) {d[i]+=10; d[i+1]--;}
  		while(d[lenth]<0) {
  			d[lenth+1]--; d[lenth]+=10; 
  			lenth++;
  		}
  	}
  };
  SuperInt operator +(SuperInt &a,SuperInt &b) {
  	SuperInt rslt; int i;
  	for(i=1;i<=a.lenth||i<=b.lenth;i++) rslt[i]=a[i]+b[i] ;
  	rslt.lenth=i-1; rslt.fixadd() ;
  	return rslt ;
  }
  SuperInt operator -(SuperInt &a,SuperInt &b) {
  	SuperInt rslt; int i;
  	for(i=1;i<=a.lenth||i<=b.lenth;i++) rslt[i]=a[i]-b[i] ;
  	rslt.lenth=i-1;rslt.fixsub() ;
  	while(rslt.lenth>1&&rslt[rslt.lenth]==0) rslt.lenth--;
  	return rslt ;
  }
  SuperInt operator *(SuperInt &a,SuperInt &b) {
  	SuperInt rslt; 
  	for(int i=1;i<=a.lenth;i++){
  		for(int j=1;j<=b.lenth;j++) {
  			rslt[i+j-1]+=a[i]*b[j] ;
  		}
  	} 
  	rslt.lenth=max(a.lenth,b.lenth)+1; rslt.fixadd() ;
  	while(rslt.lenth>1&&rslt[rslt.lenth]==0) rslt.lenth--;
  	return rslt ;
  }
  bool operator <(SuperInt &a,SuperInt &b) {
  	if(a.lenth!=b.lenth) return a.lenth<b.lenth ;
  	for(int i=a.lenth;i>=1;i--) if(a[i]!=b[i]) return a[i]<b[i];
  	return 0;
  }
  signed main() { 
  	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0) ;
  	SuperInt a,b;string s1,s2; cin>>s1>>s2 ;
  	a.init(s1); b.init(s2) ;
  	if(a.lenth<b.lenth) swap(a,b) ;
  	SuperInt c=a*b; 
  	c.print() ;
  	return 0;
  }