模板集合

前言：记录学过的所有模板，有些比较远古还重新打了一遍。总需要留下点什么。按重要程度（主观）排序。CTRL+F 查找。很显然，有很多待补充的。（等我学到那再说吧）

树论（树形结构）

线段树 (区间修改)

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define lowbit(x) ((-(x)) & (x))
using namespace std;
int n; const int N=1e5+10;
struct tree{int l,r,lz,sum;} tr[N*4];
void updatelz(int p,int lz) {
	tr[p].sum+=(tr[p].r-tr[p].l+1)*lz ;
	tr[p].lz+=lz ; 
}
void pushdown(int p) {
	if(tr[p].lz==0) return ;
	updatelz(ls,tr[p].lz) ;updatelz(rs ,tr[p].lz) ;
	tr[p].lz=0;
}
void build (int p,int l,int r) {
	tr[p]={l,r,0,0}; 
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)>>1 ;
	build(ls, l,mid) ; build(rs,mid+1,r) ;
}
void modify(int p,int l,int r,int x) {
	if(tr[p].l>r||tr[p].r<l) return ;
	if(l<=tr[p].l && tr[p].r<=r) {updatelz(p,x) ;return ;}
	pushdown(p) ;
	modify(ls,l,r,x) ; modify(rs,l,r,x) ;
	tr[p].sum = tr[ls].sum+tr[rs].sum; 
} 
int query(int p,int l,int r) {
	if(tr[p].l>r||tr[p].r<l) return 0 ;
	if(l<=tr[p].l && tr[p].r<=r) return tr[p].sum ;
	pushdown(p) ;
	return query(ls,l,r)+query(rs,l,r) ;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	int Q; cin>>n>>Q; 
	build(1,1,n); 
	for(int i=1,x;i<=n;i++) {cin >> x; modify(1,i,i,x) ;} 
	while(Q--) {
		int opt,l,r; cin >> opt>>l>>r; 
		if(opt ==1) {int x; cin>>x;modify(1,l,r,x) ;}
		else cout<<query(1,l,r)<<"\n" ;
	}
	return 0;
}

树状数组

朴素树状数组

int lowbit(int x) {return (-x)&x ;}
void update(int i,int x) {
	for(;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=x ;
}
int getsum(int i ) {
	int ans = 0 ;
	for(;i;i-=lowbit(i)) ans+=c[i] ;
	return ans ;
}

树状数组求逆序对

sort(t+1,t+1+n);
m=unique(t+1,t+1+n)-t-1;
for(int i=1;i<=n;i++) {
	int pos=lower_bound(t+1,t+1+m,a[i])-t ;
	ans+=getsum(m)-getsum(pos);
	update(pos,1);
}

二维树状数组

int lowbit(int x) {return x&(-x);}
void update(int x, int y, int v) {
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
			tr[i][j]+=v;
}
int query(int x, int y) {
	int ans=0;
	for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
		for(int j=y;j>0;j-=lowbit(j))
			ans+=tr[i][j];
	return ans;
}
int query_range(int x1, int y1, int x2, int y2) {
	return query(x2,y2)-query(x1-1,y2)-query(x2,y1-1)+query(x1-1,y1-1);
}

LCA

倍增

void dfs(int u,int fa) {
	dep[u]=dep[fa]+1; 
	f[u][0]=fa;
	for(int i=1;i<=lg[dep[u]];i++) f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
	for(auto v:g[u]) {
		if(v==fa) continue ;
		dfs(v,u) ;
	}
}
int lca(int u,int v){
	if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v) ;
	while(dep[u]>dep[v]){
		int k=lg[dep[u]-dep[v]];
		u=f[u][k];
	}
	if(u==v) return u;
	for(int k=lg[dep[u]];k>=0;k--)
		if(f[u][k]!=f[v][k]) {u=f[u][k];v=f[v][k] ;}
	return f[u][0] ;
}

Tarjan

void tarjan(int u) {
	vis[u]=1;
	for(auto v:g[u]) if(vis[v]==0) {tarjan(v); fa[v]=u;}
	for(auto v:query[u]) if(vis[v.first]) ans[v.second]=fid(v.first) ;
}

树链剖分

void dfs1(int u,int f) {
	dep[u]=dep[f]+1; fa[u]=f; siz[u]=1;
	for(auto v:g[u]) {
		if(v==f) continue ;
		dfs1(v,u) ;
		siz[u]+=siz[v] ;
		if(siz[son[u]]<siz[v]) son[u]=v;
	}
}
void dfs2(int u,int t) {
	top[u]=t; number[u]=++sfn ;
	rev[sfn]=u;
	if(son[u]==0) return ;
	dfs2(son[u],t) ;
	for(auto v:g[u]) {
		if(v!=son[u]&&v!=fa[u]) dfs2(v,v) ;
	}
}
int lca(int u,int v) {
	while(top[u]!=top[v]) {
		if(dep[top[u]]>=dep[top[v]]) u=fa[top[u]] ;
		else v=fa[top[v]] ;
	}
	return dep[u]>=dep[v]?v:u;
}

树链剖分

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ls (p<<1) 
#define rs (p<<1|1)
using namespace std;
const int N=5e5+10 ,inf=1e18 ;int n; 
int dep[N], fa[N],siz[N],son[N],top[N],type[N] ,rev[N],w[N];
vector<int> g[N] ; int sfn=0,mod;
struct TreeNode{int sum,lz,l,r; }tr[N<<2];
void updatelz(int p,int lz) {
	tr[p].sum=(tr[p].sum+(tr[p].r-tr[p].l+1)*lz)%mod;
	tr[p].lz=(tr[p].lz+lz)%mod; 
}
void pushdown(int p) {
	if(tr[p].lz) {updatelz(ls,tr[p].lz) ; updatelz(rs,tr[p].lz); tr[p].lz=0;}
}
void dfs1(int u,int f) {
	dep[u]=dep[f]+1; fa[u]=f; siz[u]=1;
	for(auto v:g[u]) {
		if(v==f) continue ;
		dfs1(v,u) ;
		siz[u]+=siz[v] ; if(siz[son[u]]<siz[v]) son[u]=v ;
	}
}
void dfs2(int u,int t) {
	top[u]=t; type[u]=++sfn ; rev[sfn]=u ;
	if(son[u]==0) return ;
	dfs2(son[u],t) ;
	for(auto v:g[u]) if(v!=son[u]&&v!=fa[u]) dfs2(v,v) ;
}
void build(int p,int l,int r) {
	tr[p]={0,0,l,r}; 
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)>>1; 
	build(ls,l,mid); build(rs,mid+1,r) ;
} 
void modify(int p,int l,int r,int x,int y,int add) {
	if(x>r||y<l) return ;
	if(x<=l&&r<=y) {updatelz(p,add); return ;}
	pushdown(p) ;
	int mid=(l+r)>>1;
	modify(ls,l,mid,x,y,add); modify(rs,mid+1,r,x,y,add) ;
	tr[p].sum=(tr[ls].sum+tr[rs].sum)%mod;
}
void modifyTree(int u,int v,int add) {
	add%=mod ;
	while(top[u]!=top[v]) {
		if(dep[top[u]]<=dep[top[v]]) swap(u,v) ;
		modify(1,1,n,type[top[u]],type[u],add) ;
		u=fa[top[u]] ;
	}
	if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v) ;
	modify(1,1,n,type[u],type[v],add);
}
int querysum(int p,int l,int r,int x,int y) {
	if(x>r||y<l) return 0;
	if(x<=l&&r<=y) return tr[p].sum%mod ;
	pushdown(p) ;
	int mid=(l+r)/2 ;
	return (querysum(ls,l,mid,x,y)+querysum(rs,mid+1,r,x,y))%mod ;
}
int querysumTree(int u,int v) {
	int sum=0; 
	while(top[u]!=top[v]) {
		if(dep[top[u]]<=dep[top[v]]) swap(u,v) ;
		sum=(sum+querysum(1,1,n,type[top[u]],type[u]))%mod ;
		u=fa[top[u]] ;
	}
	if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v) ;
	sum=(sum+querysum(1,1,n,type[u],type[v]))%mod ;
	return sum ;
}
int queryson(int x){return querysum(1,1,n,type[x],type[x]+siz[x]-1)%mod ;}
void modifyson(int x,int k) {modify(1,1,n,type[x],type[x]+siz[x]-1,k%mod) ;}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	int Q,s; cin>>n>>Q>>s>>mod;  
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i] ;
	for(int i=1,u,v;i<n;i++) {cin>>u>>v; g[u].push_back(v); g[v].push_back(u) ;}
	dfs1(s,0); dfs2(s,s); build(1,1,n) ;
	for(int i=1;i<=n;i++) modify(1,1,n,type[i],type[i],w[i]%mod) ;
	while(Q--) {
		int opt; cin>>opt;
		if(opt==1) {
			int x,y,add; cin>>x>>y>>add ;
			modifyTree(x,y,add) ;
		}
		else if(opt==2) {int x,y; cin>>x>>y;cout<<querysumTree(x,y)<<"\n";}
		else if(opt==3) {int x,y; cin>>x>>y;modifyson(x,y) ;}
		else {int x; cin>>x; cout<<queryson(x)<<"\n";}
	}
	return 0;
}

扫描线

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1) 
using namespace std;
const int N=1e6+10 ;
struct LineNode{
	int x,starty,endy,tag;
	bool operator<(const LineNode &y) const{
		return x==y.x?tag>y.tag:x<y.x;
	}
} line[N<<1]; 
struct TreeNode{int l,r,sum,lz;} tr[N<<3];
int reid[N<<1],to[N<<1]; map<int,int> mp ;
void build(int p,int l,int r) {
	tr[p]={l,r,0,0};
	if(l==r) return ;
	build(ls,l,mid); build(rs,mid+1,r) ; 
}
void pushup(int p,int l,int r) {
	if(tr[p].lz==0) tr[p].sum=tr[ls].sum+tr[rs].sum ;
	else tr[p].sum=reid[r+1]-reid[l] ;
}
void pushdown(int p,int l,int r,int add) {
	tr[p].lz+=add ;
	if(tr[p].lz!=0) tr[p].sum=reid[r+1]-reid[l];
	else pushup(p,l,r) ;
}
void modify(int p,int l,int r,int add) {
	if(l>tr[p].r||r<tr[p].l) return ;
	if(l<=tr[p].l&&r>=tr[p].r) {pushdown(p,tr[p].l,tr[p].r,add); return ;}
	modify(ls,l,r,add); modify(rs,l,r,add) ;
	pushup(p,tr[p].l,tr[p].r) ;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	int n,tot=0; cin>>n; 
	for(int i=1,x1,x2,y1,y2;i<=n;i++) {
		cin>>x1>>y1>>x2>>y2 ;
		line[++tot]={x1,y1,y2,1} ;
		line[++tot]={x2,y1,y2,-1} ;
	}
	n=tot; tot=0; 
	for(int i=1;i<=n;i+=2) {
		to[++tot]=line[i].starty ;
		to[++tot]=line[i].endy ;
	}
	sort(to+1,to+1+tot) ;
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=tot;i++) if(!mp[to[i]]) {
		mp[to[i]]=++cnt; 
		reid[cnt]=to[i] ;
	}
	build(1,1,cnt-1) ; 
	sort(line+1,line+1+n) ;
	int ans=0 ;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(i!=1) ans+=tr[1].sum*(line[i].x-line[i-1].x) ;
		modify(1,mp[line[i].starty],mp[line[i].endy]-1,line[i].tag) ;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

字典树

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std; 
const int N=3e6+10,M=70+10;
int tire[N][M],cnt[N] ,tot=1; map<string,bool> vised;
inline int getpos(char c) {
	if('a'<=c&&c<='z') return c-'a' ;
	else if('0'<=c&&c<='9') return (c-'0')+26 ;
	else return (c-'A')+36 ;
}
inline bool work(int v,int &p) {
	if(tire[p][v]==0) return 1;
	p=tire[p][v] ; return 0;
}
inline void insert(string s) {
	int p=1 ;
	for(auto v:s){ 
		if(work(getpos(v),p)) {tire[p][getpos(v)]=++tot;p=tire[p][getpos(v)] ;}
		cnt[p]++ ;
	}
}
inline int search(string s) {
	int p=1;
	for(auto v:s) if(work(getpos(v),p)) 
		return 0 ; 
	return cnt[p]  ;
}
inline void init(){
	for(int i=0;i<=tot;i++){
		cnt[i]=0;
		for(int j=0;j<70;j++) tire[i][j]=0;	
	}
	tot=1;
}
inline void sovle() {
	init() ;
	int n,m; cin>>n>>m ;
	for(int i=1;i<=n;i++) {string s; cin>>s; insert(s) ;}
	while(m--) {
		string s; cin>>s; 
		cout<<search(s)<<"\n" ;
	}
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	int T; cin>>T; while(T--) sovle() ;
	return 0;
}

Kruskal重构树（应该算是树论）

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=3e5*2+10;
struct EDGE{int u,v,w;}edge[N];int tot=0;
void addedge(int u,int v,int w){edge[++tot]={u,v,w};}
bool cmp(EDGE x,EDGE y){return x.w>y.w;}
int fa[N],w[N],trfa[N],dep[N],lg[N];int stfa[N][20];
int fid(int x) {if(x!=fa[x])fa[x]=fid(fa[x]);return fa[x];}
int LCA(int u,int v) {
	if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
	while(dep[u]>dep[v]){int k=lg[dep[u]-dep[v]];u=stfa[u][k];}
	if(u==v) return u;
	for(int k=lg[dep[u]];k>=0;k--) 
		if(stfa[u][k]!=stfa[v][k]){u=stfa[u][k];v=stfa[v][k];}
	return trfa[u];
}
signed main() {
//	freopen("P1967_3.in","r",stdin) ;
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
	int n,m; cin>>n>>m;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){cin>>u>>v>>w[i]; addedge(u,v,w[i]);}
	sort(edge+1,edge+1+m,cmp);
	for(int i=2;i<N;i++)lg[i]=lg[i/2]+1;
	for(int i=1;i<=n+m;i++){trfa[i]=i;fa[i]=i;}
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u=edge[i].u,v=edge[i].v;
		int fau=fid(u),fav=fid(v);
		if(fau==fav) continue;
		n++;
		w[n]=edge[i].w;
		trfa[fau]=trfa[fav]=fa[fau]=fa[fav]=n;
	}
	for(int i=n;i>=1;i--) dep[i]=dep[trfa[i]]+1;
	for(int i=1;i<=n;i++) stfa[i][0]=trfa[i];
	for(int i=1;i<=19;i++)
		for(int u=1;u<=n;u++) 
			stfa[u][i]=stfa[stfa[u][i-1]][i-1];
	int Q; cin>>Q;
	while(Q--) {
		int u,v; cin>>u>>v;
		if(fid(u)!=fid(v)) cout<<"-1\n";
		else cout<<w[LCA(u,v)]<<"\n";
	}
	return 0; 
}

图论

最短路

单源最短路

void dijkstra() {
	for(int i=0;i<=n;i++) dis[i]=INF;
	dis[s]=0;
	pq.push({0,s});
	while(!pq.empty()){
		auto u=pq.top().second;	pq.pop();
		if(vis[u]) continue;
		vis[u]=1;
		for(auto [v,w]:g[u]) if(dis[v]>dis[u]+w) {
			dis[v]=dis[u]+w;
			pq.push({-dis[v],v});
		}
	}
}

SPFA附SLF优化

  void SPFA() { 
  	deque<int> q ;
  	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf ;
  	dis[s]=0 ;
  	q.push_back(s) ; inque[s]=1 ;
  	while(!q.empty()) {
  		int u=q.front() ; q.pop_front() ; inque[u]=0 ;
  		for(auto [v,w]:g[u]) if(dis[u]+w<dis[v]){
  			dis[v]=dis[u]+w ;
  			if(inque[v]==0) {
  				if(!q.empty()&&dis[v]<dis[q.front()]) q.push_front(v) ; 
  				else q.push_back(v) ;
  				inque[v]=1 ;
  			}
  		}
  	}
  }

多源最短路

// 现在我已经不用链式前向星了 但是johnson的代码量实在巨大，就不重写了
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std;
const int N = 3005 ,M = 9005;
struct edge{int to,next,w;} g1[M] ,g2[M]; 
int head1[N] ,head2[N] ,tot1,tot2; int n,m;
void addedge1(int u,int v,int w) {
	g1[++tot1] = {v,head1[u] ,w}; 
	head1[u] = tot1;
}
void addedge2(int u,int v,int w) {
	g2[++tot2] = {v,head2[u] ,w}; 
	head2[u] = tot2;
}
int dispfa[N] ,cnt[N],inq[N];
bool spfa(int s) {
	memset(dispfa,0x3f,sizeof(dispfa)) ;
	memset(cnt,0,sizeof(cnt)) ;
	memset(inq,0,sizeof(inq)) ;
	queue<int> q; 
	dispfa[s] = 0; q.push(s) ; inq[s] =1;
	while(!q.empty()){
		int u =q.front();q.pop();
		inq[u] = 0;
		for(int i=head1[u];i;i=g1[i].next) {
			int v = g1[i].to , w=g1[i].w ;
			if(dispfa[u]+w < dispfa[v]) {
				dispfa[v]= dispfa[u]+w ;
				cnt[v] = cnt[u] +1 ;
				if(cnt[v] > n) return 0; 
				if(!inq[v]) {
					q.push(v) ; inq[v]= 1;
				}
			}
		}
	}return 1;
}
bool vis[N] ;int disdij[N] ;
void dijstra(int s) {
	priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int>> ,greater<pair<int,int>>> pq;
	for(int i=1;i <= n ;i++) disdij[i] = 0x3f3f3f3f,vis[i]= 0;
	disdij[s] = 0 ;pq.push({0,s}) ;
	while(!pq.empty()){
		auto u = pq.top() ;pq.pop() ;
		if(vis[u.second]) continue ;
		vis[u.second] = 1; 
		for(int i=head2[u.second];i;i = g2[i].next) {
			int v =g2[i].to,w =g2[i].w ;
			if(disdij[v] > disdij[u.second]+w) {
				disdij[v]= disdij[u.second] +w;
				pq.push({disdij[v],v}) ;
			}
		}
	}
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,u,v,w;i <= m;i ++) {cin >> u >>v>>w ;addedge1(u,v,w) ;}
	for(int i=1;i <= n;i ++) addedge1(0,i,0) ;
	if(!spfa(0)) {cout <<-1; return 0;}
	for(int u=1;u<=n;u++) {
		for(int i=head1[u];i;i =g1[i].next) {
			int v=g1[i].to ;
			int w=g1[i] .w;
			addedge2(u,v,w+dispfa[u]-dispfa[v]) ;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		dijstra(i) ;
		int ans = 0;
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			if(disdij[j] == 0x3f3f3f3f) ans+=j*1e9;
			else ans+=j *(disdij[j]-dispfa[i]+dispfa[j]) ;
		}
		cout <<ans<<"\n" ;
	}
	return 0 ; 
}

最小生成树

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+10 ;
int dis[N],fa[N],tot=0 ;
struct EDGE{
	int u,v,w;
	bool operator<(EDGE const&x) {return w<x.w;}
} edge[N] ;
void init(int n) {for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i ;}
void addegde(int u,int v,int w) {edge[++tot]={u,v,w};}
int fid(int x) {if(x!=fa[x]) fa[x]=fid(fa[x]); return fa[x]; }
bool unio(int x,int y) {
	int fax=fid(x),fay=fid(y); 
	if(fax!=fay) {fa[fay]=fax;return 1;}
	return 0;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	int n,m; cin>>n>>m ;
	init(n) ;
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++) {cin>>u>>v>>w ;addegde(u,v,w) ;}
	sort(edge+1,edge+1+m) ;
	int ans=0,cnt=0 ;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		if(unio(edge[i].u,edge[i].v)) {
			ans+=edge[i].w ;
			if((++cnt)==(n-1)) break ;
		}
	}
	cout<<((cnt>=(n-1))?ans:-1) ;
	return 0;
}

拓扑排序

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std ;
const int N=1500+10,inf=-1e18;
int dis[N],du[N]; bool vis[N];
vector<pair<int,int> >g[N];int n,m; 
void toposort() {
	queue<int> q;
	for(int i=1;i<=n;i++) {dis[i]=inf;if(du[i]==0) q.push(i) ;}
	vis[1]=1; dis[1]=0;
	while(!q.empty()) {
		int u=q.front(); q.pop(); 
		cout<<u<<" ";
		for(auto [v,w]:g[u]) {
			du[v]--;
			if(du[v]==0) q.push(v);
		}
	}
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	cin>>n;
	for(int i=1,k;i<=n;i++) {
		while(1) {
			cin>>k ;
			if(k==0) break ;
			g[i].push_back({k,1}) ;
			du[k]++;
		}
	}
	toposort() ;
	return 0 ;
}

缩点

void tarjan(int u) {
	dfn[u]=low[u]=++sfn ;
	stk.push(u); instk[u]=1;
	for(auto v:g[u]) {
		if(dfn[v]==0) {
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
		else if(instk[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]) ;
	}
	int top;
	if(dfn[u]==low[u]) do {
		top=stk.top() ; stk.pop() ;
		instk[top]=0;
		sc[top]=u;
		if(top!=u) a[u]+=a[top] ;
	} while(top!=u);
}
//建图
for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i) ;
for(int i=1;i<=m;i++) {
	int uu=sc[u[i]],vv=sc[v[i]] ;
	if(uu!=vv) {
		rg[uu].push_back(vv);
		du[vv]++ ;
	}
}

割点

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e5+10 ;
vector<int> g[N],split ;
int sfn,dfn[N],low[N]; 
void tarjan(int u,int f) {
	dfn[u]=low[u]=++sfn ;
	int totson=0; bool isplit=0;
	for(int v:g[u]) {
		if(dfn[v]==0) {
			tarjan(v,u) ; totson++;
			low[u]=min(low[u],low[v]) ;
			if(low[v]>=dfn[u]) isplit=1;
		}
		else low[u]=min(low[u],dfn[v]) ;
	}
	if((f==0&&totson>=2)||(isplit&&f!=0)) split.push_back(u) ;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	int n,m; cin>>n>>m;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++) {cin>>u>>v;g[u].push_back(v); g[v].push_back(u);}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(dfn[i]==0) tarjan(i,0) ;
	cout<<split.size()<<"\n";
	sort(split.begin(),split.end()) ;
	for(int sp:split) cout<<sp<<" ";
	return 0;
}

点双

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e5+10;
vector<int> g[N] ,ds[N]; stack<int> stk;
int sfn,tot,dfn[N],low[N]; 
void tarjan(int u,int f) {
	if(g[u].empty()) {
		ds[++tot].push_back(u);
		return ;
	}
	dfn[u]=low[u]=++sfn; stk.push(u) ;
	for(auto v:g[u]) {
		if(dfn[v]!=0) {low[u]=min(low[u],dfn[v]) ; continue;}
		tarjan(v,u) ;
		low[u]=min(low[u],low[v]) ;
		if(low[v]>=dfn[u]) {
			tot++ ;
			while(1) {
				int top=stk.top() ; stk.pop() ;
				ds[tot].push_back(top) ;
				if(v==top) break;
			}
			ds[tot].push_back(u) ;
		}
	}
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	int n,m; cin>>n>>m;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++) {
		cin>>u>>v;
		if(u==v) continue ;
		g[u].push_back(v); g[v].push_back(u) ;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(dfn[i]==0) tarjan(i,0) ;
	cout<<tot<<"\n" ;
	for(int i=1;i<=tot;i++) {
		cout<<ds[i].size() <<" ";
		for(auto dsi:ds[i]) cout<<dsi<<" " ;
		cout<<"\n";
	}
	return 0;
}

边双

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e6+10 ;
vector<pair<int,int>> g[N];
stack<int> st ; vector<int> ng[N] ; bool inst[N];
int dfn[N],low[N],top,sfn,instk[N] ,cntscc,sc[N];
void tarjan(int u,int last) {
	dfn[u]=low[u]=++sfn ;
	st.push(u) ; instk[u]=1;
	for(auto [v,k]:g[u]) {
		if(k==last) continue ;
		if(dfn[v]==0){
			tarjan(v,k);
			low[u]=min(low[u],low[v]) ;
			if(dfn[u]>=low[v]) {ng[u].push_back(v); ng[v].push_back(u); }
		} 
		else low[u]=min(low[u],dfn[v]) ;
	}
}
bool vis[N]; int cnt;
vector<int> ans[N] ;
void dfs(int u) {
	vis[u]=1;
	ans[cnt].push_back(u) ;
	for(auto v:ng[u]) {
		if(vis[v]) continue ;
		dfs(v) ;
	}
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	int n,m; cin>>n>>m; int tot=0;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++) {
		cin>>u>>v; 
		if(u==v) continue ;
		g[u].push_back({v,++tot}) ;
		g[v].push_back({u,tot}) ;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(dfn[i]==0) tarjan(i,0) ;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(vis[i]==0) {dfs(i) ;cnt++;}
	cout<<cnt<<"\n" ;
	for(int i=0;i<cnt;i++) {
		cout<<ans[i].size()<<" " ;
		for(auto ansi:ans[i]) cout<<ansi<<" " ;
		cout<<"\n";
	}
	return 0;
}

差分约束

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e3+10,inf=1e18 ;int n,m; 
bool inque[N]; int dis[N],cnt[N];
vector<pair<int,int> > g[N] ;
bool SPFA(int s) {
	queue<int> q; 
	for(int i=0;i<=n;i++) {dis[i]=inf,cnt[i]=0; inque[i]=0;}
	dis[s]=0; q.push(s); inque[s]=1;
	while(!q.empty()) {
		int u=q.front(); q.pop(); inque[u]=0;
		for(auto [v,w]:g[u]) if(dis[u]+w<dis[v]) {
			cnt[v]=cnt[u]+1;
			if(cnt[v]>n) return 1; 
			dis[v]=dis[u]+w;
			if(inque[v]==0) {
				q.push(v); 
				inque[v]=1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++) {cin>>u>>v>>w ;g[v].push_back({u,w}) ;}
	for(int i=1;i<=n;i++) g[0].push_back({i,0}) ;
	if(SPFA(0)) cout<<"NO" ;
	else for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dis[i]<<" ";
	return 0;
}

欧拉回路

#include <bits/stdc++.h> 
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+10 ;
vector<pair<int,int> > g[N];
stack<int> path;
int cur[N],in[N],out[N]; bool vis[N]; 
void dfs(int u) {
	for(int i=cur[u];i<(int)g[u].size();i=cur[u]) {
		cur[u]=i+1; 
		if(vis[g[u][i].second]) continue; 
		vis[g[u][i].second]=1;
		dfs(g[u][i].first) ;
	}
	path.push(u); 
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	int n,m; cin>>n>>m;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++) {
		cin>>u>>v; 
		g[u].push_back({v,i}) ;
		in[v]++; out[u]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) sort(g[i].begin(), g[i].end());
	int cnt1=0,cnt2=0,s=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(out[i]-in[i]==1) {
			if((++cnt1)==2) {cout<<"No"; return 0;}
			s=i;
		}
		else if(in[i]-out[i]==1) {if((++cnt2)==2) {cout<<"No"; return 0;} }
		else if(in[i]!=out[i]){cout<<"No" ; return 0;}
	}
	dfs(s) ;
	while(!path.empty()) {
		cout<<path.top()<<" ";
		path.pop();
	}
	return 0;
}

二分图最大匹配

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;

const int N=5e4+10 ;
vector<int> g[N] ;
int n,m,e,dfn[N],rec[N] ;

bool dfs(int u,int sfn) {
	if(dfn[u]==sfn) return 0 ;
	dfn[u]=sfn ;
	for(auto v:g[u]) if(rec[v]==0||dfs(rec[v],sfn)) {
		rec[v]=u ;	return 1 ;
	}
	return 0 ;
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0) ; cin.tie(0) ; cout.tie(0) ;
	
	cin>>n>>m>>e ;
	for(int i=1,u,v;i<=e;i++) {
		cin>>u>>v ;
		g[u].push_back(v) ; 
	}
	
	int ans=0 ;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(dfs(i,i)==1)
		ans++ ;
	
	cout<<ans ;
	
	return 0 ;
}

Trick 设 $f_x$ 为一个由 $x$ 个顶点构成的完全图的圈（简单环）的数量。

数论

数论广泛应用于取模运算、质数筛选、方程求解、组合计数、对数求解等场景。知识点很杂。

快速幂

int fpow(int a,int b) {
	int ans=1;
	while(b) {
		if(b&1) {ans*=a ;ans%=m ;}
		b>>=1 ;
		a=(a*a)%m;
	}return ans%m ;
}

欧拉筛

void getprime(int n) {
	no_prime[0]=no_prime[1]=1; 
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(no_prime[i]==0) prime.push_back(i) ;
		for(auto pj:prime) {
			if(pj*i>n) break ;
			no_prime[pj*i]=1 ;
			if(i%pj==1) break ;
		}
	}
}

组合数学

预处理

for(int i=0;i<=N;i++) for(int j=0;j<=i;j++) {
	if(j==0||j==i) c[i][j]=1; 
	else c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod ;
}

直接计算

int C(int x,int y){
	if(x<y||y<0)return 0;
	return f[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}

分解质因数

void getprimefactor(int n){
	for(int i=2;i*i<=n;i++){
		int cnt=0;
		while(n%i==0) {cnt++;n/=i;}
		a[i]+=cnt;
	}
	if(n>1) a[n]++ ;
}

扩展欧几里得 (exgcd)

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
	if(b==0) {x=1,y=0 ;return a;}
	int g=exgcd(b,a%b,x,y) ;
	int t=x; x=y;y=t-a/b*y ;
	return g;
}
void sovle() {
	int a,b,c; cin >>a>>b>>c ;
	int g=__gcd(a,b) ;
	if(c%g!=0) {cout <<"-1\n";return ;}
	int x,y;exgcd(a,b,x,y) ;
	int x0=x*c/g,y0=y*c/g;//特解
	int xmin=(x0%(b/g)+b/g)%(b/g) ,ymin=(y0%(a/g)+a/g)%(a/g) ;//最小解
	if(xmin==0) xmin=b/g;
	if(ymin==0) ymin=a/g;
	int xmax=(c-b*ymin)/a, ymax=(c-a*xmin)/b;//最大解
	int len=(xmax-xmin)/(b/g)+1 ;//个数
	if(xmax<=0&&ymax<=0) {cout <<xmin <<" "<<ymin<<"\n" ;return;}
	cout <<len<<" "<<xmin<<" "<<ymin <<" "<<xmax<<" "<<ymax<<"\n";
}

大步小步(BSGS)

$b^l \equiv n \pmod p$ 给定b，n，p 求l
保证p为质数

int bsgs(int a,int b){
	a%=mod;b%=mod;
	if(b==1)return 0;
	int m=ceil(sqrt(mod));
	unordered_map<int,int>has;
	int t=b;
	for(int j=0;j<m;j++){
		has[t]=j;
		t=t*a%mod;
	}//b*(a^j)
	int mi=fpow(a,m);
	t=1;
	//查a^{i*m}是否在map中
	for(int i=1;i<=m;i++){
		t=t*mi%mod;
		if(has.count(t)) return i*m-has[t] ;
	}
	return -1;
}

不保证p为质数

int exbsgs(int a,int b,int p){
	a%=p;b%=p; 
	if(b==1||p==1) return 0;
	int d,k=0,aa=1;
	while(1){
		d=__gcd(a,p) ;
		if(d==1) break; 
		if(b%d!=0) return -1;
		k++ ;b/=d;p/=d;
		aa=aa*(a/d)%p;
		if(aa==b) return k;
	}
	int m=ceil(sqrt(p)) ;
	int t=b;
	unordered_map<int,int> mp;
	for(int i=0;i<m;i++) {mp[t]=i; t=t*a%p;}
	int mi=fpow(a,m,p) ;
	t=aa ;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		t=t*mi%p ;
		if(mp.count(t)) return i*m-mp[t]+k;
	}
	return -1;
}

Lucas定理

给定n ,m ,p$C_{n + m}^n \bmod p$ 保证 $p$ 为质数。

int Lucas(int n,int k,int mod) {
	if(k==0) return 1 ; 
	return C(n%mod,k%mod)*Lucas(n/mod,k/mod,mod)%mod ;
}

欧拉函数

预处理

void getphi(int n) {
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(no_prime[i]==0){
			prime.push_back(i) ;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=0;j<(int)prime.size();j++) {
			int m=i*prime[j];
			if(m>n) break ;
			no_prime[m]=1;
			if(i%prime[j]==0){ 
				phi[m]=phi[i]*prime[j] ;
				break ;
			}phi[m]=phi[i]*phi[prime[j]] ;
		}
	}
}

直接求

int getphi(int x){
	int ans=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++) {
		if(x%i==0) {
			ans=ans/i*(i-1) ;
			while(x%i==0) x/=i;
		}
	}
	if(x>1) ans=ans/x*(x-1) ;
	return ans ;
}

错排问题

d[2]=1; d[3]=2; 
for(int i=4;i<=n;i++) d[i]=(i-1)*(d[i-1]+d[i-2])%mod ;

威尔逊定理

题目：$S_n=\Sigma_{k=1}^n\lfloor\frac{(x-1)!+1}{x}-\lfloor\frac{(x-1)!}{x}\rfloor\rfloor$

定理:$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p} $ p为质数
```
for(int i=1;i<=n;i++) {
	if(no_prime[i]==0) table[i]=table[i-1]+1;
	else table[i]=table[i-1] ;
}
```

动态规划

动态规划通过拆分问题、保存子问题最优解避免重复计算，高效解决最优解、计数类问题。

背包dp

01背包

for(int i=1;i<=m;i++) 
  for(int j=t;j>=w[i];j--) 
	  dp[j]=max(dp[j] ,dp[j-w[i]]+v[i]);

完全背包

for(int i=1;i<=m;i++) for(int j=w[i];j<=t;j++) 
	dp[j]=max(dp[j] ,dp[j-w[i]]+v[i]);

二进制优化多重背包

for(int i=1;i<=n;i++) {
	int k=1 ;
	while(s>0) {
		int kk=min(k,s) ;
		int nv=v*kk,nw=w*kk ;
		for(int j=m;j>=nv;j--) dp[j]=max(dp[j],dp[j-nv]+nw) ;
		s-=kk ; k<<=1 ;
	}
}

区间dp

for(int len=2;len<=n;len++) {
	for(int l=1;l+len-1<=n*2;l++) {
		int r=l+len-1;
		for(int k=l;k<r;k++) dp[l][r]=max(dp[l][k]+dp[k+1][r]+sum[r]-sum[l-1],dp[l][r]) ;
	}
}

状压dp

这东西形式太多了，留一个经典题代码

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define endl "\n"
using namespace std;
int dp[2][1<<20] ;
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	int n,m,k;cin>>n>>m>>k;memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp)) ;
	dp[0][0]=0; 
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int t=i&1;
		for(int st=0;st<(1<<m);st++) dp[t][st]=dp[t^1][st] ;
		int p=0;
		for(int j=1,x;j<=k;j++) {cin>>x;p|=(1<<(x-1)) ;}
		for(int ost=0;ost<(1<<m);ost++) {
			int nst=ost|p ;
			dp[t][nst]=min(dp[t][nst],dp[t^1][ost]+1) ;
		}
	}
	if(dp[n&1][(1<<m)-1]==0x3f3f3f3f) cout<<-1;
	else cout<<dp[n&1][(1<<m)-1];
	return 0;
}

枚举子集：

for(int sub=st;sub;sub=(sub-1)&st)

树形dp

树上背包

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std;
const int N=105 ; 
int dp[N][N],edge[N]; bool vis[N];
vector<pair<int,int> > g[N] ;
void dfs(int u) {
	vis[u]=1; 
	for(auto v:g[u]) {
		if(vis[v.first]) continue ;
		dfs(v.first) ;
		for(int i=edge[u];i>=0;i--) 
			for(int j=0;j<=edge[v.first];j++) 
				dp[u][i+j+1]=max(dp[u][i]+dp[v.first][j]+v.second,dp[u][i+j+1]) ;
		edge[u]+=edge[v.first]+1;
	}
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	int n,k; cin>>n>>k ;
	for(int i=1,u,v,w;i<n;i++) {
		cin>>u>>v>>w; 
		g[u].push_back({v,w}) ;
		g[v].push_back({u,w}) ;
	} 
	dfs(1) ;
	cout<<dp[1][k] ;
	return 0;
}

树的直径

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e5+10 ;
vector<int> g[N] ; int depmx[N] ,ans;
void dfs(int u,int f) {
	int mx1=0,mx2=0 ;
	for(auto v:g[u]) {
		if(v==f) continue ;
		dfs(v,u) ;
		depmx[u]=max(depmx[v]+1,depmx[u]) ;
		if(depmx[v]+1>mx1) {mx2=mx1;mx1=depmx[v]+1; }
		else if(depmx[v]+1>mx2) mx2=depmx[v]+1 ;
	} 
	ans=max(ans,mx1+mx2) ;
	return ;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	int n; cin>>n;
	for(int i=1,u,v;i<n;i++) {
		cin>>u>>v;
		g[u].push_back(v); g[v].push_back(u) ;
	}
	dfs(1,0) ;
	cout<<ans ;
	return 0;
}

数位dp

这个东西的变形多，但是万变不离其宗放一个Windy数的代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int dp[20][20][2] ,a[20];
int dfs(int pos,int last,bool lead,bool limit) {
	if(pos==0) return 1 ;
	if(!limit&&dp[pos][last][lead]!=-1) return dp[pos][last][lead] ;
	int len=9,ans=0;
	if(limit==1) len=a[pos] ;
	for(int i=0;i<=len;i++) {
		if(!lead&&(i==last-1||i==last+1||i==last)) continue ;
		ans+=dfs(pos-1,i,lead&&i==0,limit&&i==len) ;
	}
	if(!limit) dp[pos][last][lead]=ans ;
	return ans;
}
int change(int x) {
	int pos=0; 
	while(x) {a[++pos]=x%10 ;x/=10;}
	return dfs(pos,0,1,1) ;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); cout.tie(0) ;
	int l,r;memset(dp,-1,sizeof(dp)) ;
	cin>>l>>r;cout<<change(r)-change(l-1);
	return 0;
}

posted @ 2026-07-17 10:23 Emumumu 阅读(16) 评论(0) 收藏举报

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模板集合

树论（树形结构）

线段树 (区间修改)

树状数组

LCA

树链剖分

扫描线

字典树

Kruskal重构树（应该算是树论）

图论

最短路

最小生成树

拓扑排序

缩点

割点

点双

边双

差分约束

欧拉回路

二分图最大匹配

数论

快速幂

欧拉筛

组合数学

分解质因数

扩展欧几里得 (exgcd)

大步小步(BSGS)

Lucas定理

欧拉函数

错排问题

威尔逊定理

动态规划

背包dp

区间dp

状压dp

树形dp

数位dp

公告

_Emu

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LCA

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最短路

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点双

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欧拉回路

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错排问题

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