字符串笔记

字符串笔记

串串能吃吗？

本文我尝试重新从头开始理解字符串。由此可见，难度梯度可能较大。

发现在谐音替换、摩卡串中取得了 \(0+0=0\) 的好成绩。

字符串中很多题目往往可以有多种做法，所以可能会在不同的章节出现多次。在本文中，未加说明的 \(n\) 表示 \(|S|\)。

由于内容较多，全部放在同一篇博文中容易造成卡顿，会分为若篇。

基础内容

本部分以概念为主，主要参考 OI-wiki 字符串基础，注意该页面 0-index 和 1-index 的区分。

字符集

字符集，符号为 \(\Sigma\)。是一个全序关系（可视为 \(\le\) ）的集合。也就是说，\(\forall x,y \in \Sigma,x \neq y\)，\(x<y\) 和 \(x>y\) 有且仅有一个成立。将所有关系 \(x \lt y\) 连一条 \(y \to x\) 的有向边，得到的一定是一张无环的竞赛图。

在算法竞赛中字符集一般为小写字母集，即 \(\Sigma = \{\texttt{a},\texttt{b},\dots,\texttt{z}\},\texttt{a} < \texttt{b} < \dots < \texttt{z}\)。

字符集的全序要求是为了字典序的定义。在一些场景中，我们可能会忽略全序性。

字符串

由若干个字符 \(c,c\in \Sigma\) 依次排列的序列，叫做字符串。

和一般的序列一样，字符串可以下标从 \(1\) 开始，亦可以下标从 \(0\) 开始。本文默认从 \(1\) 开始。

\(|S|\) 表示字符串 \(S\) 的长度，即字符串的字符数。\(S_i\) 表示字符串 \(S\) 的第 \(i\) 个字符。

空串是一类特殊的字符串，记为 \(\varepsilon\)，\(|\varepsilon|=0\)。

字符串的相等定义为两串长度相等且相同位置字符相同。即：\(S=T \Leftrightarrow |S|=|T|,\forall 1 \le k \le |S|,S_k=T_k\)。

定义字符串拼接，记作 \(ST\) 或 \(S+T\)（\(S,T\) 为字符串）得到一个字符串 \(S_1S_2\dots S_{|S|}T_1T_{2}\dots T_{|T|}\)。记 \(S^n\) 为 \(\begin{matrix}\underbrace{S\cdots S}\\n \text{个} S\end{matrix}\)，即将 \(n\) 个字符串依次拼接起来。

子串与子序列

字符串 \(S\) 的子串 \(S_{[l\dots r]}\) 表示由 \(S_l,S_{l+1},\dots,S_{r}\) 顺次拼接而成的字符串。[1]

字符串 \(S\) 的子序列定义为将若干元素提取出来并不改变相对位置形成的序列，即 \(S_{p_1},S_{p_2},\dots,S_{p_k}\) 顺次拼接而成，且 \(1 \le p_1 \lt p_2 \lt \dots \lt p_k \le n\)。[1:1]

简单的说就是子串要求在原串中必须连续，子序列不要求。

前缀与后缀

前后缀为两类特殊的子串。前缀为 \(S_{[1,i]}\)，后缀为 \(S_{[i,n]}\)。[1:2]

字典序

定义字符串的比较关系。

称字符串 \(S<T\) 当且仅当满足以下两个条件之一：

  1. 存在 \(i \in [1,\min \{|S|,|T|\}] \cap \mathbb Z\)，满足 \(S_i < T_i\) 且 \(S_{[1,i-1]}=T_{[1,i-1]}\)；
  2. \(|S|<|T|\)，且 \(S\) 为 \(T\) 的前缀。

字典序的 \(<\) 为严格全序关系。

回文串

回文串为从前往后和从后往前读完全一样的串。形式化地，\(S_{i}=S_{|S|-i+1}\)。

一些常用的缩写

LCP(Longest Common Prefix)：指最长公共前缀。类似的有 LCS，最长公共后缀。

字符串哈希

字符串哈希是一类相当通用的算法。[2]

模板：P3370 【模板】字符串哈希 - 洛谷，更强的数据：U461211 字符串 Hash（数据加强）- 洛谷

可以发现，比较两个字符串是否相等是 \(\mathcal O(|S|)\) 的。

而哈希的思想就是将很大的集合范围映射到一个较小的值域范围。所以该映射一般为单射，基本不可能做到双射。

什么叫“小的值域范围”，对于哈希表而言为空间允许的范围，而对于字符串哈希主要是为了比较两字符串是否相等，在 64/32 位整数下就可以了。

一般字符串哈希采用多项式哈希。即

\[H(S)= \sum _{i=1} ^{|S|} S_i \times b ^{|S|-i} \bmod P \]

其中式中的 \(S_i\) 常是用 \(S_i\) 在字典序中的排名，且空出 \(0\) 不用，避免 \(\texttt{a}\) 和 \(\texttt{aa}\) 无法区分。

而 \(b\) 和 \(P\) 这两个参数的取值则影响哈希的正确性，常见的 \(P\) 取 \(\sim 10 ^9\) 的大质数或者直接取 \(2^{64}\) 自然溢出，但均可以 Hack（Hash Killer I/II/Extra）。

所以实践中常使用双哈希，但也不是万能的：Hash Killer Phantasm。

但是，未知 \(b\) 和 \(P\) 的双哈希暂时未被 Hack，Hash Killer III【Open Problem】。

在实践中由于随机大质数有些困难，随机底数即可。在 CodeForces 的赛制下这很重要。

而在其它问题中，我们往往需要求一个子串的哈希值。可以发现，哈希值是可差分的，这就说明，我们在求出前缀哈希值后可以通过差分求出任意子串的哈希值。具体地：

\[H(S_{[l,r]})=H(S_{[1,r]})-H(S_{[1,l-1]}) \times b ^{r-l+1} \]

KMP 与 Border 理论

有限状态自动机

参考资料

  1. 在定义中没有说明空串和整个字符串是否为子串/子序列/前缀/后缀，这是因为在不同的时候使用不同的定义会更加方便。 ↩︎ ↩︎ ↩︎

  2. 很多问题都可以通过字符串哈希得到一个复杂度相同或复杂度略高（比如多一个 \(\log\)）的做法。 ↩︎

posted @ 2026-04-24 21:57  MZMTab  阅读(24)  评论(0)    收藏  举报