Communication Efficient Large-Scale Training with Adam's Convergence Speed

目录

• 概
• 1-bit Adam
  • 1-bit SGD
• 代码

Seide F., Fu H., Droppo J., Li G. and Yu D. 1-bit stochastic gradient descent and its application to data-parallel distributed training of speed dnns. 2014.

Tang H., Gan S., Awan A. A., Rajbhandari S., Li C., Lian X., Liu J., Zhang C. and He Y. 1-bit Adam: Communication efficient large-scale training with adam's convergence speed. ICML, 2021.

概

本文提出了一种 Adam 预训练的 1-bit SGD 优化方法.

1-bit Adam

• 在数据并行的分布式训练中, 需要将各个节点的梯度 allreduce 在一起, 这里面不可避免存在一些通信代价.

• 为此, 本文希望在梯度交换前, 先将梯度进行(量化)压缩, 以减少通信代价.

1-bit SGD

• 首先, 我们讲实现 1-bit SGD 的可能性.

• vanilla SGD:

  \[\bm{x}_{t+1} = \bm{x}_t - \gamma \bm{g}_t = \bm{x}_0 - \gamma \sum_{s=0}^t \bm{g}_s. \]

• SGD 带压缩的梯度:

  \[\bm{x}_{t+1} = \bm{x}_t - \gamma C_{\omega} [\bm{g}_t] = \bm{x}_t - \gamma (\bm{g}_t - \bm{\delta}_t) = \bm{x}_0 - \gamma \sum_{s=0}^t \bm{g}_s + \underbrace{\gamma \sum_{s=0}^t \bm{\delta}_s}_{\text{history compression error}}. \]

  这里 \(C_w = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N Q^{-1} \circ Q(g; n)\), \(N\) 表示总的节点数, \(Q, Q^{-1}\) 分别表示量化与反量化操作.

• 显然如果不进行任何处理, 累积的误差是非常惊人的. 幸而, 之前的工作提出了一种误差补偿 (error compensation) 机制:

  \[\begin{align*} \bm{x}_{t+1} &= \bm{x}_t - \gamma C_{\omega} [\bm{g}_t + \bm{\delta}_{t-1}] = \bm{x}_t - \gamma (\bm{g}_t - \underbrace{\bm{\delta}_t + \bm{\delta}_{t-1}}_{\text{error cancellation}}) \\ &= \bm{x}_0 - \gamma \sum_{s=0}^t \bm{g}_s + \gamma \sum_{s=0}^t (\bm{\delta}_s - \bm{\delta}_{s-1}) \\ &= \bm{x}_0 - \gamma \sum_{s=0}^t \bm{g}_s + \gamma \bm{\delta}_t. \end{align*} \]

  因此误差不会累积.

• 这里需要说明一下具体的流程:

  1. 每个 node 计算得到梯度 \(\bm{g}_t\), 以及上一次量化的误差 \(\bm{\delta}_{t-1}\), 传递如下信号:
     \[Q(\bm{g}_t + \bm{\delta}_{t-1}). \]

  2. 计算当前的误差累积:
     \[\bm{\delta}_{t} = \bm{g}_t - Q^{-1} \circ Q(\bm{g}_t + \bm{\delta}_{t-1}). \]

• 因此, 1bit-SGD 是没法降低显存在占用的, 因为我们要维护额外的 \(\bm{\delta}_t\), 它的作用主要是降低平均梯度时所带来的通信代价.

• 然而, 上面的推导依赖对梯度的线性累积, 如果是 Adam 这种非线性的优化器, 误差补偿也没法阻止误差的累积. 因此, 本文所提出的 1-bit Adam 的流程如下:

  1. 在一开始, 采用正常的 Adam 进行更新, 得到二阶动量的一个估计 (因为作者发现, Adam 的二阶动量在训练一段时间后趋于稳定);
  2. 固定二阶动量, 并开始量化梯度, 转而采用 1-bit SGD 的格式更新.

  

• 所以本质上, 1-bit Adam 还是一个 1-bit SGD 方法, 相当于设置了一个更合理的学习率? 实际上, 作者的二阶动量会逐步区域稳定的这个假设也是不合理的, 至少我做实验的经常会观察的逐步增加的二阶动量.

代码

[DeepSpeed]