Chapter 1 A Definition of Causal Effect

目录

• 1.1 Individual casual effects
• 1.2 Average casual effects
• 1.5 Causation versus association

Hern\(\'{a}\)n M. and Robins J. Causal Inference: What If.

A: intervention, exposure, treatment

consistency: \(Y=Y^A\) when A observed.

1.1 Individual casual effects

假设我们要探究变量A与变量Y的关系, 在设定\(A=a\)的情况下, Y一致对应有\(Y^{a}\).
倘若A是二元的, 即\(\{0, 1\}\), 则有相应的\(Y^0, Y^1\).

则对于某个个体来讲, A对于Y有casual effect, 若\(Y^0 \not = Y^1\).

举个例子来讲, 给宙斯后面来一棍子(A=1), 宙斯是否会晕\(Y^1=0\) or \(Y^1 =1\), 或者啥也不做也就是\(A=0\), 宙斯的状态\(Y^0\).
当\(Y^1 \not = Y^0\) 的时候, 我们可以判断, 是否给宙斯来一棍对于宙斯下一刻会不会晕有casual effect, 反之就是没有.

1.2 Average casual effects

刚刚是针对个体的causal effect 的定义, 接下来是average casual effect的概念.
实际上, 就是针对一族个体的集合, 探究操作A对于所关心的Y的是否存在影响.
实际上, 就是判断

\[\mathbb{E} [Y^a], \]

的关系, 对于上面的二元的例子, 就是判断

\[\mathbb{E} [Y^0] == \mathbb{E}[Y^1], \]

更进一步的, 由于\(Y\)本身也是二元的\(\{0, 1 \}\), 所以可以进一步简化为

\[\mathrm{Pr}[Y^0=1] == \mathrm{Pr}[Y^1 = 1]. \]

1.5 Causation versus association

我们可以知道, \(Y=Y^a, \: if \: A=a\), 更精准的

\[\mathrm{Pr}(Y|A=a) = \mathrm{Pr}(Y^a|A=a), \]

这是因果推断里很重要的一致性(consistency)的概念, 或许把它作为一个假设更为合理.
要知道, 我们在实际计算causal effects 的时候用到的是边际概率分布\(\mathrm{Pr}(Y^a)\).
观察可知, 当\(A, Y^a\)相互独立的时候, 我们可以得到

\[\mathrm{Pr}(Y^a) = \mathrm{Pr}(Y^a| A=a), \]

此时causation 和 association 便是一致的了.
association 可以理解为

\[\mathbb{E}[Y|A] = \mathbb{E}[Y^A|A], \]

与causation非常类似.

想要区分二者的区别, 还是得看原文, 从例子的角度出发, 否者还是难以掌握.
一言以蔽之, association, 即条件概率, 实际上分析的是某一个特定人群执行某些操作的结果, 而causation则是希望在一个更大的范围内, 一视同仁的判断概操作对这些人的影响, 忽略这特定人群的某些特定性质的影响.