BZOJ3994: [SDOI2015]约数个数和

Description

 设d(x)为x的约数个数,给定N、M,求  
 

 

Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行,一个整数T,表示测试数据的组数。
接下来的T行,每行两个整数N、M。
 

Output

 T行,每行一个整数,表示你所求的答案。

 

Sample Input

2
7 4
5 6

Sample Output

110
121

HINT

 1<=N, M<=50000

1<=T<=50000
一开始写了个这东西,结果搞不动心态崩了,下面:
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}ij-\phi(ij)$$
不知道可不可以这样做,有会的神犇请动动手指D飞我这个蒟蒻,QQ:1278795351
换做法
考虑替换d(ij),这里有个公式:
$$d(nm)=\sum_{x|n}^{n}\sum_{y|m}^{m}1[gcd(x,y)==1]$$
详细证明请看钊爷博客%%%:传送门
推一波柿子:
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{x|n}^{n}\sum_{y|m}^{m}1[gcd(x,y)==1]$$
$$==    \sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}\frac{n}{x}*\frac{m}{y}[gcd(x,y)==1]$$
gcd(x,y)==1就很套路了:$$\sum_{d|x}\mu(d)=[x==1]$$
再推:$$==    \sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m}\frac{n}{x}*\frac{m}{y}\sum_{d|x}\mu(d)$$
提d出来:$$== \sum_{d=1}^{n}\mu(d) \sum_{d|x}\sum_{d|y}\frac{n}{x}*\frac{m}{y}$$
$$== \sum_{d=1}^{n}\mu(d) \sum_{x=1}^\frac{n}{d}\sum_{y=1}^{\frac{m}{d}}\frac{n}{d*x}*\frac{m}{d*y}$$
然后预处理后面两项,设$$S(x)=\sum_{i=1}^{x}\frac{x}{i}$$
 yy一下,这就是求x里面有几个i,那其实就是:
$$S(x)=\sum_{i=1}^{x}d(i)$$
然后分块加速
终于写完了。。
代码如下:
//MT_LI
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=50000;
int mu[51000],v[51000],prime[51000];
ll d[51000];
void get_Mobius()
{
    memset(v,false,sizeof(v));
    prime[0]=0;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            mu[i]=-1;
            prime[++prime[0]]=i;
        }
        for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=maxn;j++)
        {
            v[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=maxn;i++)mu[i]+=mu[i-1];
}
int T;
int n,m;
ll get(int x)
{
    ll ans=0;
    for(int i=1;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            ans++;
            if(i*i!=x)ans++;
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    get_Mobius();d[1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)d[i]=(ll)get(i)+d[i-1];
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m)swap(n,m);
        ll ans=0;
        for(int i=1,j;i<=n;i=j+1)
        {
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=(ll)(mu[j]-mu[i-1])*d[n/i]*d[m/i];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

The deepest love I think,later than apart,I will live as you like
posted @ 2018-10-25 13:06  MT_LI  阅读(142)  评论(0编辑  收藏  举报