洛谷 P3366 【模板】最小生成树 题解

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这里介绍求最小生成树的最常见的两种解法。

Kruskal 算法

这是最好写最好想的一种写法，本质上是贪心+并查集。

我们把输入的边存起来，然后把边按边权为关键字从小到大排序，然后遍历这些边。我们贪心地尽量使用边权小的边，由于要生成的是树，意味着我们不能出现环，也就是两个点之间只能有一条路径。所以我们可以用并查集来维护这些点，当遍历到的边中的两个点已经在同一个连通块里面，则这条边不能使用，否则加入这条边，将两个点合并到一个连通块。

最后判断图是否连通，只需要看我们加入的边数是否达到 \(n-1\)。

证明：按边权从小到大排序，如果这条边可以选但是没有选，那么为了使这两个点能够联通，就需要在后面的边里选择直接或间接连接这两个点的边，又已知后面的边权更大，一定不优，所以排序后能选的时候就选。

时间复杂度 \(O(m\log m)\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=5100,M=2e5+100;
int n,m,fa[N],cnt,sum;
struct node
{
	int x,y,z;
}a[M];
bool cmp(node a1,node a2)
{
	return a1.z<a2.z;
}
int set_find(int dx)
{
	return dx==fa[dx]?dx:fa[dx]=set_find(fa[dx]);
} 
void set_merge(int dx,int dy)
{
	int gx=set_find(dx),gy=set_find(dy);
	if(gx!=gy) fa[gx]=gy;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);
	sort(a+1,a+m+1,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(set_find(a[i].x)!=set_find(a[i].y))
		{
			set_merge(a[i].x,a[i].y);
			cnt++,sum+=a[i].z;
		}
		if(cnt==n-1) break;
	}
	cnt<n-1?printf("orz"):printf("%d",sum); 
	return 0;
}

Prim 算法

这种方法和最短路中的 Dijkstra 比较相似，本质上也是贪心。

我们可以把最终的最小生成树视为一个集合（下文称 mst 点集），一开始它只有结点 \(1\)，后面每次遍历加入新的点，最终形成我们要的最小生成树。我们定义 \(dis_i\) 为与 mst 点集直接相连的结点 \(i\) 到 mst 点集的距离，如果结点 \(i\) 与 mst 点集并不直接相连，则 \(dis_i=+\infty\)。由于 \(1\) 号结点一开始就在集合里，应初始化 \(dis_1=0\)。每次遍历寻找 \(dis\) 最小的点加入，然后更新与这个点相邻的点的 \(dis\)。对于判连通，如果某一次在找新点时发现找不到，那么图是不连通的。

证明：与 Dijkstra 的证明类似，每次都要往 mst 点集加入一个新点，这个新点的作用是更新点集外的点到 mst 点集的距离，假设目前距离最短的点为 \(x\)，但我们没有选择让 \(x\) 加入而是让另一个点 \(y\) 加入，那么因为 \(y\) 到点集的距离更长，再去更新 \(x\) 不可能使 \(x\) 更短，所以每次选择距离最短的点加入最优。

时间复杂度 \(O(n^2)\)。稠密图适合使用 Prim。但一般情况下 Kruskal 跑得比 Prim 快，即使 Prim 加上堆优化，常数也比 Kruskal 大，所以在求解最小生成树时，我们一般使用 Kruskal。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=5100,M=2e5+100,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,k,t[N],u,v,w,dis[N],mk,sum;
bool flag[N];
struct node
{
	int id,last,val;
}a[M*2];
void add(int a1,int a2,int a3)
{
	a[++k].id=a2;
	a[k].last=t[a1];
	a[k].val=a3;
	t[a1]=k;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	while(m--)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w),add(v,u,w); 
	}
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	dis[1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		mk=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!flag[j]&&dis[j]<dis[mk]) mk=j;
		}
		if(dis[mk]==INF)//图不连通 
		{
			printf("orz");
			return 0;
		}
		//取结点mk 
		sum+=dis[mk];
		flag[mk]=true;
		for(int j=t[mk];j;j=a[j].last)//更新与mk相连的点离mst点集的最短距离 
		{
			if(!flag[a[j].id]&&a[j].val<dis[a[j].id]) dis[a[j].id]=a[j].val;
		}
	}
	printf("%d",sum);
	return 0;
}