枚举子集

状压 dp 的一个小技巧。

这是代码：

for(int j=i;j;j=(j-1)&i)

其中，\(i\) 是枚举的集合，\(j\) 是子集。但是要注意这个办法没有枚举空集，需要自行处理。

考虑证明。我们分三步，分别证明正确性、不重、不漏。

• 正确性：由于这个 j=(j-1)&i，所以 \(j\) 不可能出现除 \(i\) 有以外的位。

• 不重：由于 j=(j-1)&i 所以 \(j\) 是严格递减的，不会重。

• 不漏：由于 \(j-1\) 等价于删去在二进制下 \(j\) 的最右的一个 \(1\)，并将这位后面的二进制位变为 \(1\)，又因为进行了 &i，所以可以把多的 \(1\) 去掉。