洛谷 AT_abc180_e [ABC180E] Traveling Salesman among Aerial Cities 题解

由于 \(N\) 最大只有 \(17\)，可以想到状压 dp。

因为遍历完所有点之后还要回到 \(1\)，但是遍历所有的点的最优方案不一定是回到 \(1\) 的最优方案（有可能最后一个被遍历的点到 \(1\) 的距离很长），所以考虑加上一维表示最后一个被遍历的点。

于是状态表示就出来了。\(dp_{i,j}\) 表示已经被遍历的点的二进制表示集合为 \(i\)，最后一个被遍历的点为 \(j\)。对于转移，枚举 \(i\) 中为 \(1\) 的 \(k(k\neq j)\)，\(dp_{i,j}=min(dp_{i,j},dp_{i\oplus2^{j-1},k}+dis(j,k))\)。

最后枚举被遍历的最后一个点，加上最后一个点到 \(1\) 的距离，答案即为最小值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=20,INF=0x3f3f3f3f;
int n,dp[1<<N][N],ans=INF;
struct node
{
	int x,y,z;
}a[N];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);
	memset(dp,0x3f,sizeof dp);
	dp[1][1]=0;
	for(int i=2;i<(1<<n);i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!(i&(1<<(j-1)))) continue;
			for(int k=1;k<=n;k++)
			{
				if(k==j||!(i&(1<<(j-1)))) continue;
				dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i^(1<<(j-1))][k]+abs(a[j].x-a[k].x)+abs(a[j].y-a[k].y)+max(0,a[j].z-a[k].z));
			}
		}
	}
	for(int i=2;i<=n;i++) ans=min(ans,dp[(1<<n)-1][i]+abs(a[1].x-a[i].x)+abs(a[1].y-a[i].y)+max(0,a[1].z-a[i].z));
	printf("%d",ans);
	return 0;
}