洛谷 CF1606E Arena 题解

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考虑 DP。看到 \(500\) 这个数据范围，推测这个 dp 是三维状态 \(O(1)\) 转移或者二维状态一重循环转移。

• 状态表示：\(dp_{i,j}\) 表示 \(i\) 人存活，最大血量为 \(j\) 时，最后无人生还的方案数。

• 状态转移：

  • 因为当 \(i-1\ge j\) 时，必定无人生还，所以所有方案都能满足无人生还的条件，即 \(j^i\)，但要满足最大血量为 \(j\)，故需要减去 \((j-1)^i\)。

  • 所以当 \(i-1\ge j\) 时，\(dp_{i,j}=j^i-(j-1)^i\)。

  • 因为当 \(i-1<j\) 时，必定有人活下来，但无法知道活下来的数量。我们可以枚举活下来的人数 \(k\)，由于每个人减去的血量是相同的，所以最大血量的人还是原来那个，最大血量变为 \(j-(i-1)\)。但我们并不知道活下来的是哪 \(k\) 个，所以还要乘 \(C^k_i\)。显然死的人的血量需要在 \(1\sim i-1\) 这个区间内，故乘 \((i-1)^{i-k}\)。

  • 所以当 \(i-1<j\) 时，\(dp_{i,j}=dp_{k,j-(i-1)}\times C^k_i\times(i-1)^{i-k}\)。

• 答案在哪：显然我们需要的方案是满足 \(n\) 个人，血量在 \([1,x]\) 的，但没有对最大的血量做出要求，故 \(ans=\sum_{i=1}^xdp_{n,i}\)。

另外由于 dp 部分时间复杂度已经是 \(O(n^3)\) 的，所以求组合数和幂的部分需要分别使用杨辉三角和快速幂优化。

几个需要注意的点：

• 开 long long。

• 取模要模够。

• 怎么这年头还有卡 /=2 要写 >>=1 才能过的。一开始写了 b/=2 TLE 了调了半天，改成 b>>=1 就过了。不过可能确实是我个人习惯不好的问题。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MOD=998244353;
const int N=510;
ll n,x,dp[N][N],c[N][N],ans;
ll quick_pow(ll a,ll b)
{
	ll sum=1;
	while(b)
	{
		if(b%2==1) b--,sum=(sum*a)%MOD;
		a=(a*a)%MOD,b>>=1;
	}
	return sum;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&x);
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%MOD;
	}
	for(ll i=2;i<=n;i++) 
	{
		for(ll j=1;j<=x;j++)
		{
			if(i-1>=j) dp[i][j]=(quick_pow(j,i)+MOD-quick_pow(j-1,i))%MOD;
			else
			{
				for(int k=1;k<=i;k++) dp[i][j]=(dp[i][j]+(((dp[k][j-(i-1)]*c[i][k])%MOD)*quick_pow(i-1,i-k))%MOD)%MOD;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=x;i++) ans=(ans+dp[n][i])%MOD;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}