康托展开&逆康托展开

康托展开

康托展开属于组合数学中的一个知识点。用于求出一个排列在全排列中的排名。

时间复杂度

康托展开的时间复杂度是 \(O(n^2)\)，在用树状数组优化时可以达到 \(O(n\ log\ n)\)。

实现方法&原理

则有 \(ans=a_n\times(n-1)!+a_{n-1}\times(n-2)!+\cdots+a_i\times(i-1)+\cdots+a_1\times0!\)

其中，\(0\le a_i\le i\)，\(1\le i\le n\)，表示当前数在未出现的元素中排第几个，这就是康托展开。

例如 \(3\) 的全排列的康托展开如下：

排列	名次	康托展开
\(1\ 2\ 3\)	\(1\)	\(0\times2!+0\times1!+0\times0!\)
\(1\ 3\ 2\)	\(2\)	\(0\times2!+1\times1!+0\times0!\)
\(2\ 1\ 3\)	\(3\)	\(1\times2!+0\times1!+0\times0!\)
\(2\ 3\ 1\)	\(4\)	\(1\times2!+1\times1!+0\times0!\)
\(3\ 1\ 2\)	\(5\)	\(2\times2!+0\times1!+0\times0!\)
\(3\ 2\ 1\)	\(6\)	\(2\times2!+1\times1!+0\times0!\)

原理

因为排列是按字典序排名的，因此越靠前的数字优先级越高。也就是说如果两个排列的某一位之前的数字都相同，那么如果这一位如果不相同，就按这一位排序。

比如 \(4\) 的排列，\([2,3,1,4]<[2,3,4,1]\)，因为在第 \(3\) 位出现不同，则 \([2,3,1,4]\) 的排名在 \([2,3,4,1]\) 前面。

举个例子

我们知道长为 \(5\) 的排列 \([2,5,3,4,1]\) 大于以 \(1\) 为第一位的任何排列，以 \(1\) 为第一位的 5 的排列有 \(4!\) 种。但是我们对第二位的 \(5\) 而言，它大于第一位与这个排列相同的，而这一位比 \(5\) 小的所有排列。不过我们要注意的是，这一位不仅要比 \(5\) 小，还要满足没有在当前排列的前面出现过，不然统计就重复了。因此这一位为 \(1\)，\(3\) 或 \(4\)，第一位为 \(2\) 的所有排列都比它要小，数量为 \(3\times3!\)。

按照这样统计下去，答案就是 \(1+4!+3\times3!+2!+1=46\)。注意我们统计的是排名，因此要 \(+1\)。

代码实现

void cantor()
{
	ll ans=1,cnt;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	{
		cnt=0;
		for(ll j=i+1;j<=n;j++)
		{
			if(a[j]<a[i]) cnt++;
		}
		ans+=cnt*fac[n-i];
	}
	printf("%lld\n",ans);
}

逆康托展开

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，因此是可逆的。

逆康托展开相当于康托展开逆过来，也就是可以求出某个数某个排名的排列。

实现方法

举个例子，求 \(5\) 排名为 \(61\) 的排列。以下是逆推过程：

• \(61\div4!=2\cdots13\)，说明 \(a_5=2\)，比首位小的数有 \(2\) 个，所以首位为 \(3\)。

• \(13\div3!=2\cdots1\)，说明 \(a_4=2\)，在第二位之后小于第二位的数有 \(2\) 个，所以第二位为 \(4\)。

• \(1\div2!=0\cdots1\)，说明 \(a_3=0\)，在第三位之后没有小于第三位的数，所以第三位为 \(1\)。

• \(1\div1!=1\cdots0\)，说明 \(a_2=1\)，在第二位之后小于第四位的数有 \(1\) 个，所以第四位为 \(5\)。

• 最后一位即为剩下的数 \(2\)。

• 通过以上推导可得所求排列为 \(3\ 4\ 1\ 5\ 2\)。

代码实现

void decantor(ll num)
{
	ll cnt,p;
	num--;
	for(ll i=1;i<=n;i++) flag[i]=false;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	{
		cnt=num/fac[n-i];
		for(p=1;p<=n;p++)
		{
			if(!flag[p]) 
			{
				if(!cnt) break;
				cnt--;
			}
		}
		printf("%lld ",p);
		flag[p]=true;
		num%=fac[n-i];
	}
	printf("\n");
}