smzx 进球数 题解

这题数据范围很小，只有 \(18\) 个时间片，所以可以枚举恒大和国安的进球数（范围为 \([0,18]\)）。只要其中一方进球数是质数，就是合法方案，累加到概率。

接下来考虑如何计算概率。我们假设当前枚举到的是恒大进球 \(i\) 个，国安进球 \(j\) 个。

再把恒大进球 \(i\) 个的概率记为 \(hd_i\)，国安进球 \(j\) 个的概率记为 \(ga_i\)。那么恒大进球 \(i\) 个并且国安进球 \(j\) 个的情况概率为恒大进球 \(i\) 个的概率乘国安进球 \(j\) 个的概率，即 \(hd_i\times ga_i\)。

再考虑如何求 \(hd_i\) 和 \(ga_i\)。因为恒大进球 \(i\) 个，所以恒大有 \(18-i\) 个时间片没进球。又知恒大进球概率为 \(A\%\) ，可得恒大不进球概率为 \(1-A\%\)。由于恒大在哪些时间片进球我们是不确定的，但我们知道恒大进球的时间片是 \(18\) 个中的 \(i\) 个，可能的情况为 \(C^i_{18}\) 个。最后整合到一起可以得出 \(hd_i=C^i_{18}(A\%)^i(1-A\%)^{18-i}\)。\(ga_i\) 同理。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=30;
int r;
double a,b,ans,hd[N],ga[N],dp[N][N];
bool check(int x)//判断质数
{
	if(x<2) return false;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0) return false;
	}
	return true;
}
int main()
{
	scanf("%d",&r);
	for(int i=0;i<=18;i++)//预处理，用杨辉三角求组合数
	{
		dp[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];
	}
	while(r--)
	{
		ans=0;
		scanf("%lf%lf",&a,&b);
		for(int i=0;i<=18;i++)//求出hd[i]和ga[i]
		{
			hd[i]=ga[i]=dp[18][i];
			for(int j=1;j<=i;j++) hd[i]*=a/100.0,ga[i]*=b/100.0;
			for(int j=1;j<=18-i;j++) hd[i]*=(1-a/100.0),ga[i]*=(1-b/100.0);
			//printf("%d:%lf %lf\n",i,hd[i],ga[i]);
		}
		for(int i=0;i<=18;i++)//枚举恒大进球数
		{
			for(int j=0;j<=18;j++)//枚举国安进球数
			{
				if(check(i)||check(j)) ans+=hd[i]*ga[j];//进球数有质数
			}
		}
		printf("%lf\n",ans);
	}
	return 0;
}