树上倍增求 LCA

以 P3379 为模板来讲解。

\(\text{step1.}\) 预处理

• 对于每个结点 \(\text{dfs}\) 预处理出结点深度。

• 求 \(\text{st}\) 表， \(st_{i,j}\) 表示结点 \(i\) 往上跳 \(2^j\) 步到达的结点。

  • 初始值：\(st_{i,0}=fa_i\)。\(2^0=1\)，\(i\) 往上跳一步就是 \(i\) 的父亲结点

  • 递推式：st[i][j]=st[st[i][j-1]][j-1]。结点 \(i\) 跳 \(2^j\) 步到达的结点就是 \(i\) 跳 \(2^{j-1}\) 步后再跳 \(2^{j-1}\) 步到达的结点。

\(\text{step2.}\) 查询

对于查询 \(x\) 和 \(y\) 的公共祖先：

• 如果 \(x\) 的深度小于 \(y\) 的深度，则交换 \(x\) 和 \(y\)，使得 \(x\) 更深。

• 采用二进制拆分的思想，让 \(x\) 跳得跟 \(y\) 一样高。

• 如果此时 \(x=y\) ，直接返回 \(x\)。

• 否则让 \(x\) 和 \(y\) 倍增往上跳，跳到它们 \(\text{LCA}\) 的两个子结点，最后再跳一步即可得出 \(x\) 和 \(y\) 的 \(\text{LCA}\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=5e5+100,LG=30;
int n,m,t[N],k,deep[N],st[N][LG],x,y,lg[N],s; 
struct node
{
	int id,last;
}a[N*2];
void add(int a1,int a2)//建边
{
	a[++k].id=a2;
	a[k].last=t[a1];
	t[a1]=k;
}
void dfs(int dx,int fa)//预处理出每个结点的深度
{
	deep[dx]=deep[fa]+1;//当前结点深度为父亲结点深度+1
	st[dx][0]=fa;//st表初始值
	for(int i=t[dx];i;i=a[i].last)//递归子结点
	{
		if(a[i].id!=fa) dfs(a[i].id,dx);
	}
}
int lca(int dx,int dy)//求x和y的LCA
{
	if(deep[dx]<deep[dy]) swap(dx,dy);//使得x的深度更深
	for(int i=lg[n];i>=0;i--)//让x跳得跟y一样高
	{
		if(deep[st[dx][i]]>=deep[dy]) dx=st[dx][i]; 
		if(dx==dy) return dx;//x和y重合，LCA为x
	}
	for(int i=lg[n];i>=0;i--)//x和y倍增往上跳，跳到LCA的两个子结点
	{
		if(st[dx][i]!=st[dy][i]) dx=st[dx][i],dy=st[dy][i];
	} 
	return st[dx][0];//再跳一步得到LCA
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	for(int i=2;i<=n;i++) lg[i]=lg[i/2]+1;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		//双向建边，因为不知道父子关系
		add(x,y);
		add(y,x);
	} 
	dfs(s,0);
	for(int i=1;i<=lg[n];i++)//求st表
	{
		for(int j=1;j<=n;j++) st[j][i]=st[st[j][i-1]][i-1];
	}
	while(m--)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		printf("%d\n",lca(x,y));
	}
	return 0;
}