HDU 6623 Minimal Power of Prime（数学）
•题意
给你一个大于 1 的正整数 n；
它可以分解成不同的质因子的幂的乘积的形式，问这些质因子的幂中，最小的幂是多少。
•题解
把[1,10000]内的素数筛出来，然后对于每个素$P$数遍历找$P_{k}$的$k$,用$ans$来维护最小的$k$
对于大于10000的素数，$(10^{4})^{4}<10^{18}<(10^{4})^{5}$,所以最大是4次方
先看4次方：
若$x^{4}==n$，则$x$一定是素数，为什么是素数？
根据欧拉定理，一个数可以分成若干个素数乘积的形式。如$m=p_{1}^{k1}\cdot p_{2}^{k2}\cdot p_{3}^{k3}\cdot p_{4}^{k4}\cdot p_{5}^{k5}$
假设$p_{1},p_{2},p_{3}$为$10000$以内的素数，$p_{4},p_{5}$为大于$10000$的素数。
由于$n$的$10000$以内的素数都被消去了，现只剩下$p_{4}^{k4}\cdot p_{5}^{k5}=n$
因为$p_{4}^{k4}\cdot p_{5}^{k5}=n=x^{4}$,由上只上限是4， 为了方便设$k4=k5=4$，所以$p_{4}^{4}\cdot p_{5}^{4}$可以合并为$(p_{4}p_{5})^{4}$,也就是$x=(p_{4}p_{5})$这个合数。
但是$p_{4},p_{5}$都是$>10^{4}$,所以$x=(p_{4}p_{5})>10^{8}$,即$n=x^{4}=(p_{4}p_{5})^{4}>10^{18}$，与题意矛盾
再看2次方
若$x^{2}==n$，则$x$可能是合数可能是素数？
如果是4次方的话肯定不能是2次方，由上只$x$是个素数，那$y=x^{2}$的话，$y$就是合数了，所以2次方4次方只能存在一个
如果不是4次方的话，可以是2次方有两种情况，$x$是素数和$x$是合数，素数符合是明显的，那合数为什么符合呢
仍然以上述例子$m=p_{1}^{k1}\cdot p_{2}^{k2}\cdot p_{3}^{k3}\cdot p_{4}^{k4}\cdot p_{5}^{k5}$
假设$p_{1},p_{2},p_{3}$为$10000$以内的素数，$p_{4},p_{5}$为大于$10000$的素数。
由于$n$的$10000$以内的素数都被消去了，现只剩下$p_{4}^{k4}\cdot p_{5}^{k5}=n$
因为$p_{4}^{k4}\cdot p_{5}^{k5}=n=x^{2}$,由上面上限是4同理知上限是2，为了方便设$k4=k5=2$，所以$p_{4}^{2}\cdot p_{5}^{2}$可以合并为$(p_{4}p_{5})^{2}$,也就是$x=(p_{4}p_{5})$这个合数。对于$p_{4}^{2}$这个素数来说是2，对于$p_{5}^{2}$这个素数来说也是2，对于$(p_{4}p_{5})^{2}$这个合数可以分成$p_{4}^{2} p_{5}^{2}$这两个素数，也是2.
3次方与4次方同理
如果都不是的话，就只剩下一个素数了，那就是1
•代码
View Code1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define ll long long 4 const int maxn=1e4; 5 const int mmaxn=1e6; 6 int prime[maxn]; 7 bool Mark[maxn+50]; 8 int num; 9 void Prime() 10 { 11 for(int i=2;i<=maxn;i++) 12 { 13 if(Mark[i]==0) 14 prime[num++]=i; 15 for(int j=0;j<num&&prime[j]*i<=maxn;j++) 16 { 17 Mark[i*prime[j]]=1; 18 if(i%prime[j]==0) 19 break; 20 } 21 } 22 } 23 int main() 24 { 25 Prime(); 26 int T; 27 scanf("%d",&T); 28 while(T--) 29 { 30 ll n; 31 scanf("%lld",&n); 32 int ans=100; 33 for(int i=0;i<num;i++) 34 { 35 int cur=0; 36 while(n%prime[i]==0) 37 { 38 n/=prime[i]; 39 cur++; 40 } 41 if(!cur) 42 continue; 43 ans=min(ans,cur); 44 if(ans==1||n==1) 45 { 46 printf("%d\n",ans); 47 break; 48 } 49 } 50 if(ans==1||n==1) 51 continue; 52 53 ll x=sqrt(sqrt(n)); 54 ll y=sqrt(n); 55 56 if(x*x*x*x==n)///4 57 ans=min(ans,4); 58 else if(y*y==n)///2 59 ans=2; 60 else///3 61 { 62 bool flag=false; 63 ll l=maxn-1,r=mmaxn+1; 64 while(r-l>1) 65 { 66 ll mid=(l+r)>>1; 67 if(mid*mid*mid>n) 68 r=mid; 69 else 70 l=mid; 71 if(mid*mid*mid==n) 72 { 73 flag=true; 74 ans=min(ans,3); 75 break; 76 } 77 } 78 if(!flag) 79 ans=1; 80 } 81 printf("%d\n",ans); 82 } 83 }
