第三周作业

动态规划法求解“数字三角形”问题实践报告

一、问题描述

数字三角形由n行数字组成，第i行（从1开始计数）有i个数字。从三角形顶部（第1行第1个数字）出发，每次只能向左下或右下方向移动到下一行数字，求从顶部走到底部的所有路径中，路径上数字之和的最大值。

二、动态规划求解步骤分析

2.1 最优子结构性质与递归方程式

2.1.1 最优子结构分析

设数字三角形第i行第j个元素为a[i][j]（i、j均从1开始计数）。从a[i][j]出发到三角形底部的最大路径和记为dp[i][j]。
要使dp[i][j]最大，下一步只能走到a[i+1][j]或a[i+1][j+1]，因此dp[i][j]的最优解必然包含dp[i+1][j]或dp[i+1][j+1]的最优解，即问题具有最优子结构性质。

2.1.2 递归方程式定义

基于最优子结构，递归方程为：
dp[i][j] = a[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])
含义：从a[i][j]出发的最大路径和 = 当前元素值 + 下一行两个可达位置的最大路径和中的较大值。

2.1.3 边界条件

当到达三角形底部（i = n）时，路径无法继续延伸，此时路径和即为当前元素自身，边界条件为：
dp[n][j] = a[n][j]（j从1到n）

2.2 填表法相关设计

2.2.1 表的维度

采用二维表格dp存储子问题最优解，维度为n×n（因第i行有i个元素，表格右下方部分无实际意义，可忽略）。其中dp[i][j]对应从第i行第j个元素到顶部的最大路径和。

2.2.2 填表范围

填表范围为i从n-1 downto 1（从倒数第二行向上遍历至第一行），j从1 to i（每行从第一个元素遍历至最后一个元素）。

2.2.3 填表顺序

采用从下往上的填表顺序：先计算底部行（边界条件），再依次计算倒数第二行、倒数第三行……直至第一行。每行内部按从左到右顺序填写，确保计算dp[i][j]时，dp[i+1][j]和dp[i+1][j+1]已完成计算。

2.2.4 原问题最优值

原问题是求从顶部（a[1][1]）到顶部的最大路径和，对应表格中dp[1][1]元素，即表格左上角元素。

2.3 算法时间与空间复杂度分析

2.3.1 时间复杂度

填表过程中，需遍历n-1行（从第1行到第n-1行），每行遍历i个元素（i从1到n-1），总运算次数为1+2+3+…+(n-1) = n(n-1)/2，时间复杂度为O(n²)。

2.3.2 空间复杂度

若使用完整二维表格dp[n][n]存储子问题解，空间复杂度为O(n²)。
优化方案：因计算第i行时仅需第i+1行的数据，可使用一维数组dp[j]（长度为n），每次覆盖更新，空间复杂度可优化为O(n)。

三、对动态规划算法的理解和体会

3.1 核心思想认知

动态规划的核心是“分解子问题、利用重叠子问题、依托最优子结构”：将原问题分解为规模更小的子问题，通过存储子问题的最优解避免重复计算，最终由子问题最优解推导出原问题最优解。数字三角形问题中，从顶部到底部的路径可分解为从下一行元素到顶部的路径，正是这一思想的体现。

3.2 适用场景总结

动态规划适用于具有最优子结构和重叠子问题的问题：最优子结构保证子问题最优解能推导原问题最优解；重叠子问题则是动态规划提高效率的关键——若子问题不重叠，动态规划与分治法无本质区别。除数字三角形外，最长公共子序列、背包问题、最短路径问题等均是典型应用场景。

3.3 实践应用感悟

动态规划的难点在于定义子问题状态dp[i][j]和推导递归方程：状态定义需准确对应子问题核心，递归方程需贴合状态含义和最优子结构。初期容易陷入“从上往下”的递归思维（易导致重复计算），而“从下往上”的填表法更易落地实现。同时，空间优化的核心是发现“当前状态仅依赖有限个前序状态”，合理压缩存储规模。