第二周作业

一、找第 k 小的数的分治算法描述（伪代码 + 自然语言）
核心结论：分治算法通过 “选基准→分区→递归缩小范围”，无需全排序即可找到第 k 小的数，伪代码简洁且执行高效。
伪代码
plaintext
function findKthSmallest(arr, left, right, k):
if left == right: # 子数组仅1个元素，直接返回
return arr[left]
# 1. 选基准（此处选右边界元素，也可随机选）
pivotIndex = partition(arr, left, right)
# 2. 计算基准元素是当前子数组的第m小（m = 基准左侧元素个数 + 1）
m = pivotIndex - left + 1
# 3. 分情况递归
if m == k:
return arr[pivotIndex] # 基准恰好是第k小，直接返回
elif m > k:
# 第k小在基准左侧，递归左子数组
return findKthSmallest(arr, left, pivotIndex - 1, k)
else:
# 第k小在基准右侧，递归右子数组（k更新为k - m）
return findKthSmallest(arr, pivotIndex + 1, right, k - m)

分区函数：将数组按基准划分，左侧≤基准、右侧≥基准，返回基准最终位置

function partition(arr, left, right):
pivot = arr[right] # 基准元素
i = left - 1 # i指向“左侧区域末尾”
for j from left to right - 1:
if arr[j] ≤ pivot:
i += 1
swap(arr[i], arr[j]) # 把≤基准的元素移入左侧区域
swap(arr[i + 1], arr[right]) # 基准放到最终位置（左侧区域之后）
return i + 1 # 返回基准索引
自然语言解释
终止条件：如果当前处理的子数组只有 1 个元素，这个元素就是目标（第 k 小）。
分区操作：选一个基准元素（如子数组最后一个元素），通过交换将数组分成两部分 —— 左侧元素都≤基准，右侧元素都≥基准，最后返回基准的最终位置。
确定范围：计算基准元素在当前子数组中的 “排名” m（左侧有 m-1 个元素，所以基准是第 m 小）。
递归处理：若 m=k，基准就是答案；若 m>k，第 k 小在左侧子数组，递归左侧；若 m<k，第 k 小在右侧子数组，递归右侧（此时 k 需减去左侧元素总数 m）。
二、算法时间复杂度分析
最好时间复杂度：O (n)
关键前提：每次分区后，基准元素恰好将数组分成 “大小均衡的两部分”（如左右子数组长度相差不超过 1）。
分析逻辑：第一次分区处理 n 个元素，第二次处理 n/2 个，第三次 n/4 个，总操作次数为 n + n/2 + n/4 + ... + 1 ≈ 2n，因此时间复杂度为 O (n)。
最坏时间复杂度：O (n²)
关键前提：每次分区后，基准元素是当前子数组的 “最值”（如每次选到最小或最大元素），导致子数组规模仅减少 1。
分析逻辑：第一次分区处理 n 个元素，第二次 n-1 个，第三次 n-2 个，总操作次数为 n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n (n+1)/2，因此时间复杂度为 O (n²)。
三、对分治法的体会和思考

1. 分治法的核心思想
   分治法的本质是 “化繁为简”，将一个大规模、复杂的问题，拆解成多个规模更小、结构相同的子问题，递归解决子问题后，无需额外合并（或少量合并）即可得到原问题答案。它的核心是 “分”（拆解问题）和 “治”（解决子问题），关键在于 “如何分”—— 拆分后的子问题必须与原问题同构，且拆分后能显著降低问题难度。
2. 分治法的优势与适用场景
   优势：无需处理整个问题空间，仅聚焦关键子问题（如找第 k 小无需全排序），效率远高于暴力法；递归结构清晰，代码易实现、易理解。
   适用场景：问题可拆分为同构子问题、子问题独立无依赖、子问题解决后可快速组合出原答案（如排序、查找、矩阵乘法等）。
3. 分治法的注意事项
   拆分均衡性是效率关键：如找第 k 小的算法，若分区均衡则时间复杂度 O (n)，若不均衡则退化为 O (n²)，因此实际应用中常 “随机选基准” 优化均衡性。
   避免重复计算：部分问题（如斐波那契数列）直接分治会产生大量重复子问题，需结合动态规划或记忆化搜索优化。
   递归深度控制：极端情况下递归深度可能达到 O (n)（如最坏情况的找第 k 小算法），可能导致栈溢出，可通过迭代改写或尾递归优化。
4. 分治法的本质启发
   分治法体现了 “整体与部分” 的辩证关系 —— 复杂问题的解往往蕴含在其部分子问题的解中。它不仅是一种算法设计技巧，更是一种解决问题的思维方式：面对复杂任务时，先拆解为可落地的小任务，逐个突破后再整合，既降低了单个任务的难度，也便于并行处理或分步优化。