几个和协方差特征值有关的算法

协方差矩阵的意义： 
方差是变量减均值的期望，两个变量的协方差是变量一减均值，乘以，变量二减均值，的期望。协方差矩阵，就是多个变量两两间协方差值，按顺序排成的矩阵。协方差的意义是，衡量两个变量偏差变化趋势是否一致，除以两变量标准差之积以标准化，即相关系数

协方差矩阵特征值的几何意义

 

协方差矩阵求三维点集的直线方程和平面方程：

设三维点集为  {  },

将点集写成矩阵的形式：

计算点集的中心：  。

没个点减去其中心后得到的点集（矩阵形式）：

计算协方差矩阵  ，注意这是一个对称矩阵，所以它的特征向量是单位向量，且相互正交。

求协方差矩阵的特征值：  ，其中  如下：

求出的协方差矩阵的最大的特征值对应的特征向量就是这些点拟合成的直线的方向，那么为什么是这样呢？

简单的公式推导：

在上述求特征值的公式  左右同时乘以  得到下式：

 ，即有  。也就是说求出的特征值和特征向量也是满足这个等式的；我们求出的特征向量是单位向量，此时有  ；

 中每个元素的值就是每个点向量在特征向量上的投影值，例如下图中p1点在向量x上的投影（红色），故  就表示所有点在特征向量x上投影的平方和；

 

 

最大特征值对应的特征向量就是这些点向量投影平方和最大的方向，这些点当然是在自己拟合出来的直线的方向上的投影平方和最大。

前两个特征值向量构成的平面就是这些点拟合出来的平面或者说最小的特征值对应的特征向量就是拟合平面的法向量；

当然这种方法其实就是最小二乘法，离群点对最终的直线、平面拟合结果影响很大；

所以我们在计算出了特征值后都回对特征值进行判断（例如：对于直线拟合，我们需要最大的特征值是第二大特征值5-10倍以上；对于平面拟合，我们需要前两个特征值是第三个的5-10倍以上，具体多少倍视问题所需要的精度而定）；

 

ISS

ISS算法的全程是Intrinsic Shape Signatures。

ISS特征点检测的思想也甚是简单，简单来说就是主成分分析法在局部坐标系下的使用：

1.建立关键点的局部坐标系；

2.求关键点与领域点的协方差矩阵；

3.利用协方差矩阵的特征值之间关系来形容该点的特征程度。

显然这种情况下的特征值是有几何意义的，特征值的大小实际上是椭球轴的长度。椭球的的形态则是对邻近点分布状态的抽象总结。试想，如果临近点沿某个方向分布致密则该方向会作为椭球的第一主方向，稀疏的方向则是第二主方向，法线方向当然是极度稀疏（只有一层），那么则作为第三主方向。

如果某个点恰好处于角点，则第一主特征值，第二主特征值，第三主特征值大小相差不会太大。

如果点云沿着某方向致密，而垂直方向系数则有可能是边界。

总而言之，这种局部坐标系建模分析的方法是基于特征值分析的特征点提取。
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