乘法逆元

目录

1.扩展欧几里得算法

1.1算法内容

1.2解不定方程ax+by=c

1.3解同余方程ax≡c(mod b)

1.4逆元求解

2.模板题

T1.luoguP3811

T2.luoguP5431

3.小结

正文

1.1算法内容

欧几里得算法所求的是两个数的最大公约数，复杂度是log级别的，他的关键是把求gcd(a,b)转化为求gcd(b,a%b);

扩展欧几里得算法则主要解决“解不定方程ax+by=gcd(a,b)”这一问题，是在欧几里得算法的基础上进行的

首先，我们来看欧几里得算法的递归边界，这时，b=0,a=gcd(a,b),显然有x=1,y=0这组解使a=gcd(a,b),b=0时方程成立

我们令此时的a,b,x,y为a₁,b₁,x₁,y₁,尝试用这组解递推另一组解

下面是推导过程

 

 

 程序如下：

int exGcd(int a,int b){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int g=exGcd(b,a%b);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
        return g;
}

上面求出的是方程的一组特解，要求出通解，则需调整常数

注意到ab=(a,b)*[a,b]

所以可以在x后加上b/gcd(a,b)，y后减去a/gcd(a,b),易得所得仍是方程的解

通解为：

 

可以利用这种方式求在一定范围内的解

比如求方程在[0,m)范围内的解，则只需x=(x%m+m)%m;

因为exGcd函数可能求出的是负解，所以要加上m

1.2解不定方程ax+by=c;

根据扩展欧几里得定理，方程ax+by=gcd(a,b)的解我们会求了，那如何利用到解这个方程中呢？

若c%gcd(a,b)==0，那么可以先解方程ax+by=gcd(a,b),再把所有解乘上c/gcd(a,b);

事实上这样得到的只是方程的部分解

思考一下，我们在解方程ax+by=gcd(a,b)时在特解后所加的常数会相互抵消，所以将这两个常数扩大整数倍是无意义的

所以方程的解应扩展为

 

 

到这里，c%gcd(a,b)==0的情况就考虑完了，那么c%gcd(a,b)!=0的情况呢？

若c%gcd(a,b)!=0

我们对等式两边同时对gcd(a,b)取模，而左边等于0，右边不等于零，两个相等的整数，模同一个数的余数肯定相等，所以矛盾，该方程无整数解

所以方程ax+by=c有整数解的充要条件是c%gcd(a,b)=0;

1.3解同余方程ax≡c(mod b)

这个方程等价于解方程ax=by+c

令y=-y,得到ax+by=c;

解法见1.2

1.4乘法逆元

终于到了求逆元的时候了

什么是逆元呢？

我们在小学时就学过，除以一个数等于乘这个数的倒数

逆元就是一个数在模p意义下的倒数

举个例子，如果b是a在模p意义下的逆元，那么就有ab≡1(mod p)

那么逆元有什么用呢？

如果一个很大的数a,去除以一个数b,然后商对p取模

因为除法不可以先取模再相除，而懒惰的我又不想写高精

逆元就上场了

他可以将除法转化为乘法，问题就简化了很多

说了这么多，逆元怎么求呢

注意这个关系ab≡1(mod p)

这不就是我们上面讨论了好久的方程吗，所以解法就见上吧

1.1　　1.2　　1.3

由上面的结论知，一个数在mod p意义下存在逆元的充要条件是(a,p)=1,特别的，若p是质数，除了扩展欧几里得，还有什么别的方法吗

（1）费马小定理

因为φ(p)=p-1（即p为质数）,a,p互质

所以a^p-1≡1(mod p)

我们就找到了a的一个逆元a^p-2,可以用快速幂求出

附快速幂模板

int bPow(int b){
    for(;b;b>>=1,base=(LL)base*base%mod)
        if(b&1) res=(LL)res*base%mod;
    return res%mod;
}

 

（2）递推法

这是一个玄学的递推

 

而p%i的逆元我们已经求出，所以可以得到i的逆元

代码如下

inv[0]=0;
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

这个递推是线性的，非常适合求连续多个数的逆元

2.例题

T1 线性求逆元

T2先通分，维护后缀积和前缀积，求分母的逆元即可，注意卡常

3.总结

求逆元就是解同余方程ab≡1(mod p)，这里(a,p)=1;

针对p是质数，还有2种特殊的求法

欢迎大家分享新的求法或是提出不足