P17141 [NOI 2026] 传送 题解

题目链接：P17141 [NOI 2026] 传送，#18984. 传送

首先随便推推可以看出来对于从 $ x $ 到 $ y $ 的答案等于选取一个包含 $ y $ 的联通块 $ S $，答案为：

\[\min\bigg(dis(x, y), \frac{n+\sum_{u\in S} dis(u, y)}{|S|}\bigg) \]

然后这个 $ S $ 显然是加入的点距离 $ y $ 远的不如 $ y $ 近的，而且如果选了某个距离的某个点，则距离 $ y $ 为这个距离的所有点都会选（等价于和一个更小的数取加权平均数），因此问题转化为了对于给定点 $ u $ 求距离 $ u $ 小于等于 $ x $ 的个数和距离和，要求做到 $ O(logn) $。考虑点分树处理即可，点分树的大致思想是重构成每次取子树重心往父亲节点连边，然后高度是 $ O(logn) $ 的，然后保存当前重心的联通块的信息和贡献到其父亲的信息，这样对于一个点 $ v $，在前面的点分树点上面不会统计到他，因为当前联通块不包含他，在当前联通块包含他但是子节点不包含他的时候恰好会贡献，在之后的节点因为当前联通块包含他且子节点的联通块也包含他，相减会消去，因此只会贡献一次。

此时时间复杂度是 $ O(nlog^2n) $ 的，可能卡卡能过去，但是我是大常数 vector 选手，所以继续观察，发现相邻节点选的联通块 $ S $ 包含的节点的最大深度的差不超过 1，因此只需要对根节点进行一次二分，其他可以 $ O(1) $ check，总复杂度 $ O(nlogn) $，居然还跑了 3s，常数多大可想而知。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define i128 __int128
#define pb push_back
using namespace std;
int n,tot,dep[500005],dfn[500005],st[20][500005],sz[500005],cfa[500005],rad[500005];
bool vis[500005];
vector<int> e[500005];
struct node{
	vector<int> cnt;
	vector<ll> sum;
}all[500005],sub[500005];
pair<ll,int> val[500005];
ll gcd(ll x,ll y)
{
	while(y)
	{
		x%=y;
		swap(x,y);
	}
	return x;
}
int low(int x,int y)
{
	return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
void dfslca(int u,int fa)
{
	dfn[u]=++tot;
	st[0][tot]=fa;
	for(auto v:e[u])
	{
		if(v==fa)continue;
		dep[v]=dep[u]+1;
		dfslca(v,u);
	}
}
int getlca(int u,int v)
{
	if(u==v)return u;
	int l=dfn[u],r=dfn[v];
	if(l>r)swap(l,r);
	++l;
	int k=__lg(r-l+1);
	return low(st[k][l],st[k][r-(1<<k)+1]);
}
int get2dis(int u,int v)
{
	return dep[u]+dep[v]-2*dep[getlca(u,v)];
}
void getsz(int u,int fa)
{
	sz[u]=1;
	for(auto v:e[u])
	{
		if(v==fa||vis[v])continue;
		getsz(v,u);
		sz[u]+=sz[v];
	}
}
int getmid(int u,int fa,int sum)
{
	for(auto v:e[u])
	{
		if(v!=fa&&!vis[v]&&sz[v]*2>sum)return getmid(v,u,sum);
	}
	return u;
}
void getdis(int u,int fa,int d,vector<int> &vc)
{
	vc.pb(d);
	for(auto v:e[u])
	{
		if(v==fa||vis[v])continue;
		getdis(v,u,d+1,vc);
	}
}
void getinfo(node &ret,vector<int> &vc)
{
	int mx=0;
	for(auto x:vc)
	{
		mx=max(mx,x);
	}
	ret.cnt.assign(mx+1,0);
	ret.sum.assign(mx+1,0);
	for(auto x:vc)
	{
		ret.cnt[x]++;
	}
	ll cnt=0,sum=0;
	for(int i=0;i<=mx;i++)
	{
		cnt+=ret.cnt[i];
		sum+=1ll*i*ret.cnt[i];
		ret.cnt[i]=cnt;
		ret.sum[i]=sum;
	}
}
int build(int rt,int fa)
{
	getsz(rt,-1);
	int mid=getmid(rt,-1,sz[rt]);
	cfa[mid]=fa;
	vector<int> dis;
	getdis(mid,-1,0,dis);
	getinfo(all[mid],dis);
	vis[mid]=1;
	for(auto v:e[mid])
	{
		if(vis[v])continue;
		vector<int> cur;
		getdis(v,mid,1,cur);
		node tmp;
		getinfo(tmp,cur);
		int son=build(v,mid);
		sub[son]=tmp;
	}
	return mid;
}
void merge(node &a,int lim,int m,int op,ll &cnt,ll &sum)
{
	if(lim<0||!a.cnt.size())return ;
	lim=min(lim,(int)a.cnt.size()-1);
	cnt+=1ll*op*a.cnt[lim];
	sum+=1ll*op*(a.sum[lim]+1ll*a.cnt[lim]*m);
}
pair<ll,int> query(int u,int r)
{
	ll cnt=0,sum=n,son=-1;
	for(int mid=u;mid!=-1;son=mid,mid=cfa[mid])
	{
		int d=get2dis(u,mid);
		int lim=r-d;
		if(lim<0)continue;
		merge(all[mid],lim,d,1,cnt,sum);
		if(son!=-1)merge(sub[son],lim,d,-1,cnt,sum);
	}
	return {sum,(int)cnt};
}
bool cmp(pair<ll,int> a,pair<ll,int> b)
{
	return (i128)a.first*b.second<(i128)b.first*a.second;
}
bool cmp1(pair<ll,int> a,pair<ll,int> b)
{
	return (i128)a.first*b.second<=(i128)b.first*a.second;
}
int getr(int u)
{
	int l=0,r=n-1;
	while(l<r)
	{
		int mid=l+r>>1;
		if(cmp(query(u,mid+1),query(u,mid)))l=mid+1;
		else r=mid;
	}
	return l;
}
void solve(int u,int fa)
{
	for(auto v:e[u])
	{
		if(v==fa)continue;
		int d=rad[u];
		pair<ll,int> now=query(v,d);
		if(d>0)
		{
			pair<ll,int> pre=query(v,d-1);
			if(cmp1(pre,now))
			{
				d--;
				now=pre;
			}
			else if(d+1<n)
			{
				pair<ll,int> nxt=query(v,d+1);
				if(cmp(nxt,now))
				{
					d++;
					now=nxt;
				}
			}
		}
		else if(d+1<n)
		{
			pair<ll,int> nxt=query(v,d+1);
			if(cmp(nxt,now))
			{
				d++;
				now=nxt;
			}
		}
		rad[v]=d;
		val[v]=now;
		solve(v,u);
	}
}
vector<pair<ll,int> > teleport(int c,int _n,int m,vector<int> u,vector<int> v,vector<int> x,vector<int> y)
{
	n=_n;
	for(int i=0;i<n-1;i++)
	{
		e[u[i]].pb(v[i]);
		e[v[i]].pb(u[i]);
	}
	dfslca(0,0);
	for(int i=1;i<20;i++)
	{
		for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
		{
			st[i][j]=low(st[i-1][j],st[i-1][j+(1<<(i-1))]);
		}
	}
	build(0,-1);
	rad[0]=getr(0);
	val[0]=query(0,rad[0]);
	solve(0,-1);
	vector<pair<ll,int> > ans(m);
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		int d=get2dis(x[i],y[i]);
		pair<ll,int> p=val[y[i]];
		if((i128)d*p.second<p.first)ans[i]={d,1};
		else
		{
			int gd=gcd(p.first,p.second);
			ans[i]={p.first/gd,p.second/gd};
		}
	}
	return ans;
}