一些常数优化。

参考了宋佳兴的集训队论文。感谢 zzz，如果进集训队了算你一份。

其实啥都不懂，所以可能有很多错的地方。

通用优化方法

循环展开

1. int 类型求和

直接写的瓶颈是，指令之间的跳转太多，以及指令之间的依赖关系。

比如 ffor(i,1,n) sum+=a[i]。可以选择把循环进行展开，以及通过某种方式增加并行：

for(int i=0;i<2000;i+=8) {
	s0+=a[i],s1+=a[i+1],s2+=a[i+2],s3+=a[i+3];
	s0+=a[i+4],s1+=a[i+5],s2+=a[i+6],s3+=a[i+7];
}
sum=s0+s1+s2+s3;

2. int 类型加整数

按照 \(4\) 步进行循环展开。

3. int 类型前缀和的计算

据说 NOI 应该写 ffor(i,1,n-1) pre[i+1]+=pre[i];。

一种可行的并行：

int sum=0;
for(int i=0;i<2000;i+=4) {
	sum+=a[i],a[i]=sum;
	sum+=a[i+1],a[i+1]=sum;
	sum+=a[i+2],a[i+2]=sum;
	sum+=a[i+3],a[i+3]=sum;
}

不想轻易去改马蜂，所以直接手写循环展开把。 /xk

循环融合

把两个循环结合起来，可以大大减少内存的读写次数。

给了一个这样的例子：

\[dp_{i,j} = \min_{1 \le k \le 3} dp_{i-1,j-k}+w_k \]

处理特殊项之后循环展开，读取内存次数会减少（对于 \(dp_{i-1,*}\) 来说）。

去除分支

使用 __builtin_expect 函数。比如我们写了 if(A)，不过 A 是一个几乎不会出现的 corner case，你可以写成 if(__builtin_expect(A,0))，同样定义几乎一定会发生的变量。

编译器会倾向于预测一个指令是否发生。如果不可预测，可能要采取手段。

cmov

据说这个更快。用 min 或 max，或者三目（提前计算好值），类似

int a=...,b=...;
if(a<b) a=b;

位运算

如果不可预测用 & 之类的代替 &&。

使用 __builtin_ctz 遍历会提高枚举 mask 的速度（存疑，效力并不是太明显）。

只使用比较运算不用 if 不会产生分支。

用 long long 代替 pari 之类的东西

就是更快。原因是，long long 存储加载比两个 int 快，而且比较 long long 是没有分支结构的。

内存访问相关

1. 内存局部性

让访问尽可能连续。比如预处理 st 表的时候，把小的那一维放在前面。区间 dp 的时候，可以按照 \((l-,k+,r+)\) 的顺序枚举。

2. 时间局部性

让适合缓存的数据在一段时间内被反复访问。

比如滚动数组，如果只开一个（使用合适的转移顺序）会更快；要多次访问数组 a 上的一个区间，可以进行分块，每次加载一个块内的数据再跑更快。

3. 内存并行

如果地址可以通过简单的算术得到（而不是指针），认为他们是可以并行的，这样更快（比如树状数组和非递归线段树）。

4. 树的重标号

想起来 nfls 之前的案例：对树进行重标号之后，从无法通过变为最优解。

对于那种只和父亲有关的树上 DP，可以按照 BFS 序重标号；子树树链相关的，可以考虑 DFS 序重标号。

使用 DFS 序求 LCA 是高贵的、正确的、先进的，而且适合连续访问内存（比如你需要求出一个点到其他所有点的距离。）

STL 相关

• vector 可以用 reserve 分配内存，减少 push_back 常数；

• emplace_back 据说更快；

• vector 的移动使用 A=move(B);。

• set 的 insert 会返回 (iterator,bool) 的二元组，可以利用一下；

• erase 返回的是下一个数的迭代器，通过迭代器删元素是 \(O(1)\) 的；

• insert(it,x) 如果 \(x\) 在正确的位置就是 \(O(1)\)（it 之前）。所以插入两个很接近的元素就可以用这个方法降低常数。初始化 set 可以排序然后在 end 之前插入。

同样适用于 map。

priority_queue 常数非常小，积极使用（代替 multiset）；__gnu_pbds::gp_hash_table 比 unordered_map 牛，具体用法靠前看。

sort 用匿名函数更快。

计算密集型算法

计数题通用优化

计数题一堆取模对不对，少取几次模更快。

1. 提公因式。
2. 用加减代替取模。
3. 无符号的东西更快。
4. 使用较大类型数据进行暂时存储。但是可能存不下。比如是四个元素乘起来，你可以每 \(128\) 轮对 \(128P^4\) 取模。注意你可以通过手法使得不出现取模只有加减。减少分支的手段：
5. 减少取模链。就是我特别喜欢写 a*b%MOD*c%MOD*d%MOD 这种东西。它不能并行，延迟很高，可以使用分治合并。超长的乘法链（比如阶乘）使用循环展开，并且减少依赖链。

内积优化

很多题目都是内积的形式，代替 FFT 骗分。乘法是少不了的，据说最优的是每 \(16\) 个分成一块，用 u64 暂存，加到一个 u128 里面去。

后面的明天写 /shui