20250302 总结

20250302 总结

A

简化题意：对一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 支持区间加与查询区间 gcd 操作。

思路：首先老师给了个结论，对于 \(a\) 的一个子序列 \(a_l\sim a_r\)，有：

\[\gcd (a_l,a_{l+1},\cdots,a_r)=\gcd (a_l,a_{l+1}-a_l,a_{l+2}-a_{l+1},\cdots,a_r-a_{r-1}) \]

我们把后式进行如下拆分：

\[\gcd (a_l,a_{l+1}-a_l,a_{l+2}-a_{l+1},\cdots,a_r-a_{r-1})=\gcd (a_l,\gcd (a_{l+1}-a_l,a_{l+2}-a_{l+1},\cdots,a_r-a_{r-1})) \]

发现 \(\gcd (a_l,a_{l+1}-a_l,a_{l+2}-a_{l+1},\cdots,a_r-a_{r-1})\) 只和 \(a\) 的差分序列有关。设 \(b\) 为 \(a\) 的差分序列，即 \(b_i=a_i-a_{i-1}\)(默认 \(a_0\) 为 \(0\))，则每次对 \(a_l\sim a_r\) 加 \(d\) 的操作，只会影响 \(b_l\) 和 \(b_{r+1}\) 的值，即 \(b_l\gets b_l+d,b_{r+1}\gets b_{r+1}-d\)，查询时即求 \(\gcd (b_{l+1},b_{l+2},\cdots,b_r)\)。这一部分可用线段树维护，复杂度 \(\Omicron (n\log_2 n)\)。

剩下的 \(a_l\) 怎么求？显然 \(\sum\limits_{i=1}^{l}b_i=\sum\limits_{i=1}^{l}a_i-a_{i-1}=a_l\)。我与上一部分分开用树状数组维护的，时间复杂度亦为 \(\Omicron (n\log_2 n)\)。

细节及难点：没什么难点，注意我们对于修改 \(a_l\sim a_r\) 的操作实际修改了 \(b_l,b_{r+1}\)，如果没判 \(r+1\le n\) 的话建树时需要建到 \(n+1\)。

B

简化题意：

思路：

细节及难点：

核心代码：

C

简化题意：

思路：

细节及难点：

D

简化题意：

思路：

细节及难点：

E

简化题意：

思路：

细节及难点：

F

简化题意：

思路：

细节及难点：

G

简化题意：

思路：

细节及难点：