算法第三章作业

1.1 最优子结构与递归方程
最优子结构：到达 (i,j)(i,j) 的最优路径，必然包含到达其前驱节点 (i−1,j)(i−1,j) 或 (i,j−1)(i,j−1) 的最优子路径。
状态定义： dp[i][j]dp[i][j] 表示从起点 (1,1)(1,1) 走到 (i,j)(i,j) 的最小累计费用。
递归方程： dp[i][j]=cost[i][j]+min⁡(dp[i−1][j],dp[i][j−1])dp[i][j]=cost[i][j]+min(dp[i−1][j],dp[i][j−1])
边界条件： dp[1][1]=cost[1][1]dp[1][1]=cost[1][1] ；非法区域 dp[0][j]dp[0][j] 与 dp[i][0]dp[i][0] 设为无穷大（ ∞∞ ）。
1.2 填表法分析
表的维度： N×NN×N 的二维表。
填表范围：行 ii 从 11 到 NN ，列 jj 从 11 到 NN 。
填表顺序：自顶向下，自左向右（因为当前状态仅依赖上方和左方已计算的状态）。
最优值：表格右下角元素 dp[N][N]dp[N][N] 。
1.3 复杂度分析
时间复杂度： O(N2)O(N2) ，需遍历 N×NN×N 的网格，每次状态转移耗时 O(1)O(1) 。
空间复杂度： O(N2)O(N2) ，需存储 N×NN×N 的网格费用及 DP 状态表。
对动态规划算法的理解和体会
状态定义是核心：DP 的关键在于准确定义 dpdp 数组的含义，这直接决定了状态转移的方向。
无后效性是前提：一旦到达某点，之前的路径选择不影响后续决策，仅影响累计值，这是 DP 成立的基础。
边界处理要巧妙：利用“哨兵值”（如将 dp[0][j]dp[0][j] 设为 ∞∞ ）可以统一边界逻辑，避免繁琐的 if-else 判断。
区别于贪心：贪心只顾眼前局部最优，而 DP 通过状态表记录全局历史，确保最终结果的全局最优。