归并排序

归并排序（Merge Sort）

归并排序，是创建在归并操作上的一种有效的排序算法。算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用，且各层分治递归可以同时进行。归并排序思路简单，速度仅次于快速排序，为稳定排序算法，一般用于对总体无序，但是各子项相对有序的数列。

1. 基本思想

归并排序是用分治思想，分治模式在每一层递归上有三个步骤：

• 分解（Divide）：将n个元素分成个含n/2个元素的子序列。
• 解决（Conquer）：用合并排序法对两个子序列递归的排序。
• 合并（Combine）：合并两个已排序的子序列已得到排序结果。

2. 实现逻辑

2.1 迭代法

① 申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列
② 设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
③ 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
④ 重复步骤③直到某一指针到达序列尾
⑤ 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

2.2 递归法

① 将序列每相邻两个数字进行归并操作，形成floor(n/2)个序列，排序后每个序列包含两个元素
② 将上述序列再次归并，形成floor(n/4)个序列，每个序列包含四个元素
③ 重复步骤②，直到所有元素排序完毕

merge()功能是将前后相邻的两个有序表归并为一个有序表。

ElemType *B=(ElemType *)malloc((n+1)*sizeof(ElemType));//辅助数组B
void Merge(ElemType A[],int low,int mid,int high){
    //表A的两端A[low...mid]和A[mid+1...high]各自有序，将它们合并成一个有序表
    for(int k=low;k<=high;k++){
        B[k]=A[k];//将A中所有元素复制到B
    }
    for(i=low;j=mid+1,k=i;i<=mid&&j<=high;k++){
        if(B[i]<=B[j])    //比较B左右两端中的元素
            A[k]=B[i++];  //较小的复制到A中
        else
            A[k]=B[j++];
    }
    while(i<=mid) A[k++]=B[i++];//若第一个表未检测完，复制
    while(j<=high) A[++]=B[j++];//若第二个表未检测完，复制
}

 

上面代码中，最后两个while只有一个循环会执行。

上述算法原理：设两端有序表为A[low...mid]、B[mid...high]存放在同一顺序表的相邻位置，先将他们复制到辅助数组B。每次从对应的B中的两段取出一个记录进行关键字比较，将较小的放进A，当数组B有一段的下标超出其对应的表长（即所有元素已全部复制到A中），讲另一端中的剩余布冯直接复制A中。

递归形式的2路算法是基于分治的，过程如下：

分解：将含有n个元素的待排序表分成各含n/2各元素的子表，采用2路归并排序算法对两个子表递归进行排序。

合并：合并两个已排序的子表得到排序结果

void MergeSort(ElemType A[],int low,int high){
    if(low<high){
        int mid=(low+high)/2;//从中间分开成为两个子序列
        MergeSort(A,low,mid);//对左侧子序列进行递归排序
        MergeSort(A,mid+1,high);//对右侧序列进行递归排序
        Merge(A,low,mid,high);//归并
    }
}

性能分析：

空间效率：Merge()操作中，辅助空间刚好为n各单元，所以算法的空复杂度为O(n)。

时间效率：每趟归并的时间复杂度为O(n),一共需要进行[log2n]趟归并，所复杂度是O(nlog2n).

稳定性：由于Merge()操作不会改变相同关节子记录的相对次序，所以2路归并算法是一种稳定的排序算法。