ABC405

退役6个月再战abc，被e硬控半年，f会糖糖主席树做法但是不想写。

A：submission

B：submission

C：\(2\sum_{i < j} a_ia_j = (\sum a_i)^2 - \sum a_i^2\)，submission。

D：从所有 E 开始 bfs，一定能以最短路径到达每个点，且自动生成一条路径，submission。

E：四种元素 ABCD，X 有 \(X\) 个，要求任意 A 在 C 前，A 在 D 前，B 在 D 前，求排列数。

考虑出镜最多的两种元素 AD。

不妨枚举最后一个 A 的位置 \(i\) 和第一个 D 的位置 \(j\)，初步得到答案：

\[\sum_{i = 1}^{A + B}\binom{i - 1}{A - 1}\sum_{j = i + 1}^n\binom{n - j}{D - 1}\binom{j - i - 1}{B - (i - A)} \]

引入主播不会的恒等式：

\[\sum_{i = 1}^n \binom{n - i}{a}\binom{i}{b} = \binom{n + 1}{a + b + 1} \]

组合意义：\(n + 1\) 个数中挑 \(a + b + 1\) 个，枚举第 \(a + 1\) 个的位置 \(i\)。

于是答案化简为：

\[\sum_{i = 1}^{A + B}\binom{i - 1}{A - 1}\binom{n - i}{D + B + A - i} \]

submission

即 \(\sum \binom{i - 1}{A - 1}\binom{n - i}{C}\)，考虑直接解释：枚举最后一个 A，先选好 C 的位置，再从后往前填先 D 后 B。

F

\((a<b)\) 与 \((c<d)\) 相交的充要条件为 \(a < c < b < d\) 或 \(c < a < d < b\)，画图证明。

剩下就是二维偏序模板。

submission