20241021-1031杂题记录
gym105173I
题意：长度为 \(n\) 的序列，\(1 \le a_i \le k\)。如果 \([i, i + k − 1]\) 是 \(k\) 阶排列，则这个区间所有位置都是好的。
求所有位置都是好的的序列数量，\(n\le 10^5, k\le 10^3\)。
实际上是用若干个排列去覆盖整个序列。
设 \(f_i\) 表示前缀 \(i\) 中最后一个完整排列以 \(i\) 结尾的方案数。
枚举上一个完整排列的结尾：
\(g_j\) 是在 \(1 \sim k\) 的排列后面接上 \(j\) 个数，满足 \([j + 1, j + k]\) 是排列，\(\forall 1 \le l < j,\ [l + 1, l + k]\) 不是排列的方案数。
总方案为 \(j!\)，现在减掉不合法的，枚举第一个不合法的位置 \(l\)：
时间复杂度 \(O(nk)\)。submission
gym105173L
题意：求操作序列个数，使得 () 能变为合法括号序列 \(A\)，每次可以：
- 在序列最右边添加一对括号，即 \(S\to S()\)
- 选取合法区间 \([l, r]\)，使 \(S[l, r] \to (S[l, r])\)。
(......) 能被加入当且仅当其范围内所有 () 已被加入。
换句话说，他能加入当且仅当 \(k\) 已被加入，其中 \(k\) 为范围内最后一个 () 的标号。
这能够推出，第 \(i\) 个() 能被加入当且仅当 \(i - 1\) 已被加入。
设 () 数量为 \(m\)，不妨先排出操作序列 \(1, 2, \cdots, m\)。
从后往前考虑（这保证了 \(k_i\) 是单调不升的）每个 (.......) ，在 \(k_i\) 后面选一个位置插入，系数容易计算。
时间复杂度 \(O(n)\)。submission
P10091 [ROIR 2022 Day 2] 分数排序
单组询问显然可以二分，\(a, b\) 都提前排序后存在一定单调性，能做到 \(O(n)\) check。
时间复杂度 \(O((n + q) \log n)\)，需要考虑精度问题。
P10092 [ROIR 2022 Day 2] 网络系统升级计划
设 \(f_{u, i}\) 表示以 \(u\) 为根的子树中，与儿子相连的边选了 \(i\) 条，能选的最大边数，同时记录边权和 \(g_{u, i}\)。
根据选不选 \((u, v, w)\) 有两种转移：\(f^\prime_{u, i} \gets f_{u, i - 1} + f_{v, i} + w,\ f^\prime_{u, i} \gets f_{u, i} + f_{v, i}\)。
\(f_{v, k}\) 只能第二种转移到 \(f_u\)，时间复杂度 \(O(nk)\)。
注意到对 \(u\) 而言 \(f_v\) 只有 \(i = k\) 和 \(i < k\) 两种，因此空间可以做到线性。
P10093 [ROIR 2022 Day 2] 礼物
题意：删除 \([l, r]\) 中的前 \(k\) 大值，最大化剩余元素和，\(1 \le n \le 2 \times 10^5,0\le k \le \min(100, n)\)。
相同值的元素之间存在不确定性，规定先删大再删小，值相等的先删下标大的。
枚举 \(i\)，设辅助数组 \(\{b\}\)，其中 \(b_j = [i, j \text{ 在同一区间时 } j \text{ 比 } i \text{ 先删除}]\)，\(b_i = 1\)。
\(i\) 被第 \(k\) 个删除当且仅当 \([l, r]\) 恰好包含 \(k\) 个 \(1\)。
只关心 \([l, r]\) 最左最右 \(1\) 的位置 \([l^\prime, r^\prime]\)，这样合法区间数减少到 \(O(k)\)。
设 \(pre_i,nxt_i\) 表示 \(i\) 前/后第一个 \(1\) 的位置，答案即：
中间移项容易在枚举 \([l^\prime, r^\prime]\) 时 \(O(1)\) 维护。
查询某一区间的最大前缀/后缀和可以 ST 表做到 \(O(n\log n)\) 预处理 \(O(1)\) 询问。
从大到小在值域上扫描，链表维护每个 \(1\) 的前驱后继，时间复杂度 \(O(n\log n + nk)\)。
P10087 [ROIR 2022 Day 1] 跳跃机器人
记 \(f_i\) 表示从 \(i\) 出发的答案。
不难得到，\(f_1 = \max(d_1, d_2 - 1, d_3 - 2, \cdots)\)。
考虑 \(f_i\) 需要满足的必要条件：
- \(f_i \ge d_i\)。
- \(f_i + 1 \ge f_{i + 1}\)。
两个条件同时成立就是充分的，即 \(f_i = \max(d_i, f_{i + 1} - 1)\)。
这样就在 \(O(n)\) 时间内递推出所有 \(f\)。
P11088 [ROI 2021 Day 1] 穿孔卡片
从上往下放置每个卡片。
卡片可以放置当且仅当其未被挡住且不为空的位置与答案串相同。
把当前卡片的矛盾位置（没被挡住且与答案不同）视为其度数。
能被加入当且仅当其度数为 \(0\)，写一个拓扑排序状物即可。
P10089 [ROIR 2022 Day 1] 回文数组
哈希的结果是可加的，设正串的哈希值为 \(h\)，反串为 \(h^\prime\)。
那么两部分合法当且仅当 \(ha + hb = ha^\prime + hb^\prime\)，移项即 \(ha - ha^\prime = hb - hb^\prime\)。
当长度确定时不同的 \(h - h^\prime\) 只有 \(O(n)\) 个，把他丢进桶里 check 即可。
如果奇偶性确定，答案是可二分的，时间复杂度 \(O(n\log n)\)，需要双哈希。
CF568E（加强）
题意：给出一个不完整排列 \(\{a\}\)，\(a_i = 0\) 表示不确定。补全剩余位置并最大化 LIS。
钦定某些原先位置保留在 LIS 当中，形如 \(\{a_{p_1}, a_{p_2},\cdots, a_{p_k}\}\)。
现在要在 \(p_i\) 和 \(p_{i + 1}\) 当中为 \(0\) 的位置插入一些 \(x\)，必须满足 \(a_{p_i} < x < a_{p_{i + 1}}\)。
对于每个 \(i\)，\(x\) 的值域互不相交，可以对此进行 DP。
设 \(f_i\) 表示保留 \(a_i\) 且以 \(i\) 结尾的 LIS 长度，从某个 \(j < i \land a_j < a_i\) 转移：
记 \(c_i = \sum_{j < i} [a_j = 0],\ d_i = (a_i - 1) - \sum[a_j < a_i\land a_j \ne 0]\)。
将 \(\min\) 拆成两种不同的偏序关系，分治进行转移。时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)。
P4093 [HEOI2016/TJOI2016] 序列
设 \(b_i\) 表示 \(i\) 这个位置的历史最大值，\(c_i\) 表示历史最小值。
存在显然的转移：
转移需要满足三维偏序，考虑分治。
solve(l, mid) 解决左区间；左区间更新右区间；solve(mid + 1, r) 右区间内部更新。
这样在左区间更新右区间时，左边的DP值已经是最终的了。
时间复杂度 \(O(n \log^2n)\)。submission
P7170 [COCI2020-2021#3] Sateliti
设计一种二维哈希：\(h_{i, j} = p^iq^js_{i, j},\ H_{i, j} = \sum_{a \le i, b \le j} h_{i, j}\)。
这样可以 \(O(1)\) 获取某个子矩阵的哈希值（二维前缀和）。
枚举最终方案的左上角，二分比对两种方案最长公共行数，再二分出最长公共列的位置。
把原矩阵复制成四份能够少判很多情况，时间复杂度 \(O(nm\log nm)\)。
P7172 [COCI2020-2021#3] Specijacija
把原树划分为若干长链，两点在长链上上下移动不会改变他们的lca。
给每个长链选出代表点，所有叶子节点以及 \(a_i\) 构成一颗点数为 \(2n + 1\) 的新树。
主席树自下而上维护每个点对应长链上的代表点，每到一层相当于合并两条链（删一个代表点，改一个代表点）。
注意询问是祖先后代关系的情况，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
1023模拟赛T1
gym105173I
题意：长度为 \(n\) 的序列，\(1 \le a_i \le k\)。如果 \([i, i + k − 1]\) 是 \(k\) 阶排列，则这个区间所有位置都是好的。
求所有位置都是好的的序列数量，\(n\le 10^5, k\le 10^3\)。
实际上是用若干个排列去覆盖整个序列。
设 \(f_i\) 表示前缀 \(i\) 中最后一个完整排列以 \(i\) 结尾的方案数。
枚举上一个完整排列的结尾：
\(g_j\) 是在 \(1 \sim k\) 的排列后面接上 \(j\) 个数，满足 \([j + 1, j + k]\) 是排列，\(\forall 1 \le l < j,\ [l + 1, l + k]\) 不是排列的方案数。
总方案为 \(j!\)，现在减掉不合法的，枚举第一个不合法的位置 \(l\)：
时间复杂度 \(O(nk)\)。submission
gym105173L
题意：求操作序列个数，使得 () 能变为合法括号序列 \(A\)，每次可以：
- 在序列最右边添加一对括号，即 \(S\to S()\)
- 选取合法区间 \([l, r]\)，使 \(S[l, r] \to (S[l, r])\)。
(......) 能被加入当且仅当其范围内所有 () 已被加入。
换句话说，他能加入当且仅当 \(k\) 已被加入，其中 \(k\) 为范围内最后一个 () 的标号。
这能够推出，第 \(i\) 个() 能被加入当且仅当 \(i - 1\) 已被加入。
设 () 数量为 \(m\)，不妨先排出操作序列 \(1, 2, \cdots, m\)。
从后往前考虑（这保证了 \(k_i\) 是单调不升的）每个 (.......) ，在 \(k_i\) 后面选一个位置插入，系数容易计算。
时间复杂度 \(O(n)\)。submission
gym105173G
题意：\((l, r, p, q)\) 表示只保留 \(i\) 满足 \(l \le i \le r\) 且 \(a_i = p \lor a_i = q\)，求剩余位置的逆序对数。
数据范围：\(1 \le n, m \le 10^5,\ 1 \le a_i \le n\)。
P10091 [ROIR 2022 Day 2] 分数排序
单组询问显然可以二分，\(a, b\) 都提前排序后存在一定单调性，能做到 \(O(n)\) check。
时间复杂度 \(O((n + q) \log n)\)，需要考虑精度问题。
P10092 [ROIR 2022 Day 2] 网络系统升级计划
设 \(f_{u, i}\) 表示以 \(u\) 为根的子树中，与儿子相连的边选了 \(i\) 条，能选的最大边数，同时记录边权和 \(g_{u, i}\)。
根据选不选 \((u, v, w)\) 有两种转移：\(f^\prime_{u, i} \gets f_{u, i - 1} + f_{v, i} + w,\ f^\prime_{u, i} \gets f_{u, i} + f_{v, i}\)。
\(f_{v, k}\) 只能第二种转移到 \(f_u\)，时间复杂度 \(O(nk)\)。
注意到对 \(u\) 而言 \(f_v\) 只有 \(i = k\) 和 \(i < k\) 两种，因此空间可以做到线性。
P10093 [ROIR 2022 Day 2] 礼物
题意：删除 \([l, r]\) 中的前 \(k\) 大值，最大化剩余元素和，\(1 \le n \le 2 \times 10^5,0\le k \le \min(100, n)\)。
相同值的元素之间存在不确定性，规定先删大再删小，值相等的先删下标大的。
枚举 \(i\)，设辅助数组 \(\{b\}\)，其中 \(b_j = [i, j \text{ 在同一区间时 } j \text{ 比 } i \text{ 先删除}]\)，\(b_i = 1\)。
\(i\) 被第 \(k\) 个删除当且仅当 \([l, r]\) 恰好包含 \(k\) 个 \(1\)。
只关心 \([l, r]\) 最左最右 \(1\) 的位置 \([l^\prime, r^\prime]\)，这样合法区间数减少到 \(O(k)\)。
设 \(pre_i,nxt_i\) 表示 \(i\) 前/后第一个 \(1\) 的位置，答案即：
中间移项容易在枚举 \([l^\prime, r^\prime]\) 时 \(O(1)\) 维护。
查询某一区间的最大前缀/后缀和可以 ST 表做到 \(O(n\log n)\) 预处理 \(O(1)\) 询问。
从大到小在值域上扫描，链表维护每个 \(1\) 的前驱后继，时间复杂度 \(O(n\log n + nk)\)。
P10087 [ROIR 2022 Day 1] 跳跃机器人
记 \(f_i\) 表示从 \(i\) 出发的答案。
不难得到，\(f_1 = \max(d_1, d_2 - 1, d_3 - 2, \cdots)\)。
考虑 \(f_i\) 需要满足的必要条件：
- \(f_i \ge d_i\)。
- \(f_i + 1 \ge f_{i + 1}\)。
两个条件同时成立就是充分的，即 \(f_i = \max(d_i, f_{i + 1} - 1)\)。
这样就在 \(O(n)\) 时间内递推出所有 \(f\)。
P11088 [ROI 2021 Day 1] 穿孔卡片
从上往下放置每个卡片。
卡片可以放置当且仅当其未被挡住且不为空的位置与答案串相同。
把当前卡片的矛盾位置（没被挡住且与答案不同）视为其度数。
能被加入当且仅当其度数为 \(0\)，写一个拓扑排序状物即可。
P10089 [ROIR 2022 Day 1] 回文数组
哈希的结果是可加的，设正串的哈希值为 \(h\)，反串为 \(h^\prime\)。
那么两部分合法当且仅当 \(ha + hb = ha^\prime + hb^\prime\)，移项即 \(ha - ha^\prime = hb - hb^\prime\)。
当长度确定时不同的 \(h - h^\prime\) 只有 \(O(n)\) 个，把他丢进桶里 check 即可。
如果奇偶性确定，答案是可二分的，时间复杂度 \(O(n\log n)\)，需要双哈希。
CF568E（加强）
题意：给出一个不完整排列 \(\{a\}\)，\(a_i = 0\) 表示不确定。补全剩余位置并最大化 LIS。
钦定某些原先位置保留在 LIS 当中，形如 \(\{a_{p_1}, a_{p_2},\cdots, a_{p_k}\}\)。
现在要在 \(p_i\) 和 \(p_{i + 1}\) 当中为 \(0\) 的位置插入一些 \(x\)，必须满足 \(a_{p_i} < x < a_{p_{i + 1}}\)。
对于每个 \(i\)，\(x\) 的值域互不相交，可以对此进行 DP。
设 \(f_i\) 表示保留 \(a_i\) 且以 \(i\) 结尾的 LIS 长度，从某个 \(j < i \land a_j < a_i\) 转移：
记 \(c_i = \sum_{j < i} [a_j = 0],\ d_i = (a_i - 1) - \sum[a_j < a_i\land a_j \ne 0]\)。
将 \(\min\) 拆成两种不同的偏序关系，分治进行转移。时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)。
P4093 [HEOI2016/TJOI2016] 序列
设 \(b_i\) 表示 \(i\) 这个位置的历史最大值，\(c_i\) 表示历史最小值。
存在显然的转移：
转移需要满足三维偏序，考虑分治。
solve(l, mid) 解决左区间；左区间更新右区间；solve(mid + 1, r) 右区间内部更新。
这样在左区间更新右区间时，左边的DP值已经是最终的了。
时间复杂度 \(O(n \log^2n)\)。submission
P7170 [COCI2020-2021#3] Sateliti
设计一种二维哈希：\(h_{i, j} = p^iq^js_{i, j},\ H_{i, j} = \sum_{a \le i, b \le j} h_{i, j}\)。
这样可以 \(O(1)\) 获取某个子矩阵的哈希值（二维前缀和）。
枚举最终方案的左上角，二分比对两种方案最长公共行数，再二分出最长公共列的位置。
把原矩阵复制成四份能够少判很多情况，时间复杂度 \(O(nm\log nm)\)。
P7172 [COCI2020-2021#3] Specijacija
把原树划分为若干长链，两点在长链上上下移动不会改变他们的lca。
给每个长链选出代表点，所有叶子节点以及 \(a_i\) 构成一颗点数为 \(2n + 1\) 的新树。
主席树自下而上维护每个点对应长链上的代表点，每到一层相当于合并两条链（删一个代表点，改一个代表点）。
注意询问是祖先后代关系的情况，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
P9768 [ROIR 2021 Day 2] A+B
给每一列赋予两种属性：
- 会不会往下一位进位：\(a_i = [x_i + y_i \ge 10]\)。
- 需不需要上一位进位：\(b_i = \left[x_i + y_i + 1 \equiv z_i \pmod {10}\right]\)。
发现 \(a_i\) 的表述还不是很完备，修改为 \(a_i = [x_i + y_i + b_i \ge 10]\)。
所有列转化为 \(\texttt{00},\texttt{01}, \texttt{10},\texttt{11}\) 的形式。
我们发现一旦一个数的第二位为 \(1\)，其右边与之相邻的必然满足第一位为 \(1\)。
同理如果一个数的第一位为 \(1\)，其左边与之相邻的必然满足第二位为 \(1\)。
最后的答案一定形如 \(\texttt{00}\ \texttt{01}\ \texttt{11}\cdots\texttt{11}\ \texttt{10} \ \texttt{00}\cdots\)，即：
- \(\texttt{01}\) 和 \(\texttt{10}\) 数量相等，且两两配对。
- \(\text{11}\) 只能加在一对 \(\texttt{01}\cdots\texttt{10}\) 中间。
- \(\text{00}\) 只能加在开头，结尾，或一对 \(\texttt{10}\cdots\texttt{01}\) 当中。
到此步为止，已经容易计数不考虑前导零的方案数了。
考虑容斥，钦定开头是 \(\texttt{00}\) 或 \(\texttt{01}\)，满足 \(x = 0\lor y = 0\lor z = 0\)，剩下的部分也容易计数。
gym101754a
给三种字符分别随机一个 \(2 \times 2\) 的矩阵 \(A, B, C\)，并求出他们的逆。
一个串合法当且仅当：给 \(a\) 轮流赋权值 \(A,A^{-1}\)，同理 \(b, c\)，整个序列的乘积是单位矩阵。
这是因为每次必然是相邻相同的字符相消，替换为矩阵后可以用结合律得到 \(I\)。
交换 \(l, r\) 处的两个不同字符，假设为 \(a, b\)：
- 替换 \(l, r\)。
- 将 \([l + 1, r - 1]\) 的所有 \(A\) 改为 \(A^{-1}\)，\(A^{-1}\) 改为 \(A\)。
- 将 \([l + 1, r - 1]\) 的所有 \(B\) 改为 \(B^{-1}\)，\(B^{-1}\) 改为 \(B\)。
枚举哪两种字符参与交换（实际枚举不交换的那个）。
预处理某些东西可以 \(O(1)\) 得到交换后序列的乘积，进一步可写成 \(f(l) \times g(r)\) 的形式。
给矩阵做哈希，在 map 中查找 \(f(l) = g(r)^{-1}\) 的个数。
P11092 [ROI 2021 Day 2] 莫斯科数字
设 \(f_{i, j}\) 表示考虑了后缀 \(i\)，后缀最大值是 \(j\) 的答案，复杂度 \(\vert \sum\vert^2n\)
P9863 [POI2021~2022R2] arm
进行如下转换：构造长度为 \(k\) 的数组满足 \(\prod p_i > n\)，最小化 \(ka + b(-k + \sum p_i)\)。
（一次 \(1\) 操作，\(p_i - 1\) 次 \(2\) 操作使权值翻 \(p_i\) 倍）。
当 \(\sum p_i\) 确定时，想要最大化 \(\prod p_i\)，一定存在最优解满足 \(p_k - p_1 \le 1\)（默认排好序）。
\(p_i = 1\) 是无用的，也就是说 \(k \le \log_2 n\)。
枚举 \(k\)，不妨先让 \(p_1 = p_k\)，再在满足条件的同时尽可能多的使 \(p_i\) 减一。
P8315 [COCI2021-2022#4] Šarenlist
\(n \le 60, m \le 15\)，考虑容斥。
钦定一条链颜色相同，相当于把某个边集合并为连通块，方案数就是 \(k^{\text{连通块个数}}\)。
P8314 [COCI2021-2022#4] Parkovi
二分答案，考虑这么一个贪心：选的点深度越浅越好。
设 \(h_u\) 表示 \(u\) 子树内未被覆盖的点与 \(u\) 的最大距离，\(h_u = \max_{v \in \text{son}(u)} (h_v + w)\)。
这样不是很完备，因为可能 \(v_1\) 中选中的点能覆盖 \(v_2\) 的点。
设 \(f_u\) 表示 \(u\) 子树内被选中的点与 \(u\) 的最小距离，\(f_u = \min_{v\in \text{son}(u)} f_v + w\)。
如果 \(h_v + w + f_u \le mid\)，那么他已经被覆盖，没必要贡献给 \(h_u\)。
特别的，如果 \(f_u > mid\)，则 \(u\) 本身不被覆盖，应初始化 \(h_u = 0\)，否则为 \(-\infty\)。
记 \(u\) 与其父亲直接边权为 \(X\)，如果 \(h_u + X > lim\)，必须选 \(u\)，否则还能选更浅的点。
P9691 [GDCPC2023] Base Station Construction
以区间为切入点不好做（如今年T2的贪心），考虑在数轴上做这个问题。
\(f_i\) 表示考虑了 \([1, i]\)，并且钦定选 \(i\) 的答案。
\(f_i\) 能从某个 \(f_j\) 转移过来当且仅当不存在 \(j < l\land r < i\)，容易单调队列优化。
P2567 [SCOI2010] 幸运数字
有 \(943\) 个幸运数不是其他幸运数的倍数。
所有组合中，不超过 \(10^{10}\) 的只有 \(10264\) 个，大力搜索即可。
**P4381 [IOI2008] Island **
给出图是一张基环树森林，求所有基环树的直径（最长简单路径）和。
分两类：不经过环，树DP；经过环，求出环上每棵树的最大深度，单调队列优化枚举。
代码写了一坨。submission
P7205 [COCI2019-2020#3] Drvca
以下默认整个数组有序。
\(a_1, a_2, a_3\) 必有其二同属一个集合，不妨钦定 \(a_1, a_2 \in A\)。
贪心的将能选的数都加入 \(A\)，剩下的划分给 \(B\)。
如果 \(B\) 不满足条件，考虑从 \(A\) 中反悔。
因为我们已经钦定了 \(A\) 的公差，反悔的部分只能是 \(A\) 的后缀。
从后往前枚举，同时 map 维护 \(B\) 每项的差值及个数，复杂度 \(n\log n\)。
P7981 [JRKSJ R3] system
题意：给定一个序列，每次同时使 \(a_i \gets a_{a_i}\)，求 \(k\) 次后的序列。
第一步：\(a_i^1\gets a_{a_i}\)。
第二步：\(a_i^2\gets a_{a_i^1}^1 = a^1_{a_{a_i}} = a_{a_{a_{a_i}}}\)，以此类推。
\(i\) 向 \(a_i\) 连边，\(k\) 轮后 \(a_{i}^k\) 对应哪个数，相当于 \(i\) 向父亲跳了 \(2^k\) 步。
原图是一个内向基环树森林。
对于每个点而言，如果 \(2^k\) 小于其深度，直接跳他的 \(2^k\) 级祖先。
否则跳入环中，对环长取余。
AT_dp_y Grid 2
设 \(c(i, j)\) 表示从关键点 \(i\) 不考虑其他限制走到 \(j\) 的方案数。
将关键点排序（\(x\) 为第一关键字，\(y\) 为第二关键字）。
即 \(f(i)\) 表示从起点 \(0\) 走到关键点 \(i\)，且中间不经过其他关键点的方案数。
\(f(i) = c(0, i) + \sum_{j = 1}^{i - 1} f(j) \times c(j, i)\)，这样就容斥掉了所有非法情况。
P11238 「KTSC 2024 R1」铁路 2
以下默认树的边权为正。
- 距离 \(u\) 最远的点一定是某条直径的一个端点。
- 所有直径重合于一点，或一条路径，路径外的分支长度相等。
具体证明 @dbxxx：Link。
设到 \(u\) 的最大距离为 \(d_u\)，对于任意一条直径 \((s, t)\)，总有 \(d_u = \max\left(\text{dist}(s, u), \text{dist}(t, u)\right)\)。
通过上述两点是容易说明的。
\(u, v\) 所能产生贡献的上界是 \(\min(d_u, d_v)\)，而这是能到达的。
按 \(d_u\) 降序排序，答案为 \(\sum_{i = 0}^{n - 1} i \times d_i\)。
P11240 「KTSC 2024 R2」回文判定
对于每个 \(i \in [1, \lfloor\frac{n}{2}\rfloor)\)，调用 \(\text{count_pair}(0, i, n - 1 - i)\)。
记返回值为 \(x\)：
- \(x = 0\)，一定不是回文。
- \(x = 1\)，合法当且仅当 \(s_i = s_{n - 1 - i}\)，仍需判断，将 \(i\) 和 \(n - 1 - i\) 加入集合 \(A\)。
- \(x = 3\)，\(s_0 = s_{i} = s_{n - i - 1}\)，将 \(i\) 加入集合 \(B\)。
调用 \(\text{find_character}(0, A)\)，如果存在某个 \(s_0 = s_i\)，一定非法。
现在已经检验了所有 \(i \in [1, \lfloor\frac{n}{2}\rfloor),\ s_i = s_{n - 1 - i}\)，只剩下 \(s_0\) 与 \(s_{n - 1}\) 的判断。
如果 \(B\) 不为空，\(i \in B\)，已经满足 \(s_0 = s_i\)，只需调用 \(\text{count_pair}(0, n - 1, i)\) 检验是否为 \(3\)。
否则设 \(i \in A\)，如果 \(\text{count_pair}(i, n - 1 - i, n - 1) = 3\)，非法。
否则检验 \(\text{count_pair}(i, 0, n - 1)\) 是否为 \(1\)，此时询问次数上界恰好达到题目限制。
「KTSC 2024 R2」岛屿
随便取一个三角形，内部加一个点并构造生成树。
不断往上加三角形，加的两条边染不同色即可，是一个拓扑排序状物。
原三角形每个顶点都同时属于两棵生成树。
新加入的点分别与两颗生成树相连，维持了这一性质，且无环连通。
P1117 [NOI2016] 优秀的拆分
记 \(a_i\) 表示以 \(i\) 结尾的 \(\texttt {AA}\) 串个数，\(b_i\) 表示以 \(i\) 开头的 \(\texttt{AA}\) 串个数，则答案为 \(\sum a_i \times b_{i + 1}\)，
枚举 \(\texttt{A}\) 的长度 \(L\)，每 \(L\) 放置一个关键点：\(L, 2L, 3L \cdots\)。
一个合法的 \(\texttt{AA}\) 串必然横跨相邻的两个关键点。
考虑关键点 \(p_i\) 和 \(p_{i + 1}\)，设 \(A= \text{lcs}(pre_{p_i}, pre_{p_{i + 1}}),\ B = \text{lcp}(suf_{p_i}, suf_{p_{i + 1}})\)。
记横跨 \(p_i, p_{i + 1}\) 且长度为 \(2L\) 的 \(\texttt{AA}\) 为关键串，\(p_i, L\) 不同关键串不同。
如果 \(A+ B \le L\)，不存在关键串。
否则 \(A + B > L\)，记 \(l_i = p_i - A + 1, r_i = p_i + B - 1\)，同理定义 \(l_{i + 1}, r_{i + 1}\)。
考虑一个关键串的左右端点 \(l, r\)，其中 \(p_i - L < l \le p_i,\ r - l + 1 = 2L\)。
由于 \(s_{l_i - 1} \ne s_{l_{i + 1} - 1}\)，一定有 \(l \ge l_i\)，同理 \(r \le r_{i + 1}\)。
不难得到 \(l \in [p_i - \min(A, L) + 1, \min(p_i, r_{i + 1} - 2L + 1)]\) 就是全部的关键串集合，差分维护 \(a, b\) 数组。
P2150 [NOI2015] 寿司晚宴
暴力状压每个数的质因子，做 01 背包。
\(f_{i, s, t}\) 表示考虑了前 \(i\) 个数，G 状态为 \(s\)，W 为 \(t\) 的方案数，\(s \cap t = \emptyset\)。
对于 \(n \le 500\)，至多有一个大于 \(19\) 的质因子。
根据这个大因子进行分组，显然每组至多被一个人选，分组dp即可。
剩下 \(8\) 个小因子继续状压，时间复杂度 \(O(2^{16}n)\)，枚举子集优化到 \(O(3^8n)\)。
P2178 [NOI2015] 品酒大会
建出后缀数组。
从大到小枚举 \(r = n - 1 \to 0\)。
加入所有 \(h_i = r\)，相当于 \(sa_i\) 和 \(sa_{i - 1}\) 之间连边，边权为 \(r\)。
一个连通块对应 \(h\) 数组上一段连续区间，连通块内任意两点 lcp 不小于 \(r\)。
这恰好满足题目需求。
浙公网安备 33010602011771号