20241003校模拟

A

纪念一下本人在校模拟用线段树优化dp单杀*900。

最小和最大没有本质区别，这里只讨论最小的情况。

设 \(f_i\) 表示前缀 \(i\) 的答案，显然是要枚举 \(j\) 使得 \((j, i]\) 合并成一段：

\[f_i = \min \bigg(f_j + \lceil \dfrac{s_i - s_j}{x} \rceil\bigg) \]

其中 \(s_i = \sum_{i = 1}^i a_i\)。

想办法把 \(i, j\) 的贡献拆开，再用数据结构优化转移。

显然有 $ \lceil \dfrac{s_i - s_j}{x} \rceil = \lfloor \dfrac{s_i - s_j}{x} \rfloor + [s_i \not\equiv s_j \pmod x]$，对于下取整，我们有广为人知的结论：

\[\lfloor \dfrac{s_i - s_j}{x} \rfloor = \lfloor \dfrac{s_i}{x} \rfloor - \lfloor \dfrac{s_j}{x} \rfloor - [(s_j \bmod x) > (s_i \bmod x)] \]

证明也很简单，对于三种不等关系讨论一下即可。

两者结合一下：

\[\lceil \dfrac{s_i - s_j}{x} \rceil = \begin{cases} \lfloor \dfrac{s_i}{x} \rfloor - \lfloor \dfrac{s_j}{x} \rfloor + 1 & (s_j \bmod x) < (s_i \bmod x)\\ \\ \lfloor \dfrac{s_i}{x} \rfloor - \lfloor \dfrac{s_j}{x} \rfloor & \text{otherwise}\\ \end{cases} \]

把所有 \(s_i \bmod x\) 离散化，用线段树优化转移即可。submission

B

存在平凡的构造使得权值为零：\(1\) 向其他点连 \(d_i\) 的边，任意 \(i > 1\) 向 \(1\) 连 \(-d_i\) 的边。

几条显而易见的性质：

• \(i\) 不能向 \(d_j \ge d_i\) 的 \(j\) 连负权边，否则 \(d_i + w < d_j\)，不满足最短路的限制。
• \(i\) 最多向 \(d_j < d_i\) 的 \(j\) 连权值为 \(d_j - d_i\) 的边，否则出现负环（不满足最短路限制）。

因此，我们得到了答案的下界：

\[(\sum_{i = 1}^n d_i) + (\sum_{d_j < d_i} d_j - d_i) \]

那么是否存在一组构造能达到下界呢？

将 \(d\) 排序，\(i\) 向 \(i + 1\) 连 \(d_{i + 1} - d_i\) 的边，所构成的一条链显然满足初始限制。

每个 \(i\) 对于 \(j < i\) 连 \(d_j - d_i\) 的边，一定不会出现负环，且始终满足最短路的限制，这样就达到了下界。

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C

把第一次染色的颜色作为根，枚举根，对每种情况分别求一下答案，最后除以 \(n\)（第一步是等概率的）。

考虑 \(u > v\) 对整棵树的贡献 \(e(u, v) = p(u, v) \times 1 = p(u, v)\)，设 \(l = \text{lca}(u, v)\)。

当 \(l\) 未被染色时，局面可以是任意的；当 \(u, v\) 都已经染色后，局面也可以是任意的。

全局的概率是 \(1\)，不对 \(p(u, v)\) 产生影响，只要考虑 \(l\) 被染色到 \(v\) 被染色之间的这一过程。

我们称 \((u, v)\) 简单路径上的点是关键的。

一旦 \(l\) 被染色，每次操作染色集合有 \(p\) 的概率向 \(u\) 逼近一步，\(p\) 的概率向 \(v\) 逼近，\(1 - 2p\) 的概率选择非关键点。

注意每次操作的 \(p\) 可能不同，但向 \(u, v\) 逼近的概率始终相同（等概率）。

设 \(f(i, j)\) 表示 \(l\) 要向 \(u\) 逼近 \(i\) 步，向 \(v\) 逼近 \(j\) 步，最后 \(u\) 出现在 \(v\) 之前的概率。

\(f(i, j) = p\times f(i, j - 1) + p \times f(i - 1, j) + (1 - 2p) \times f(i, j) \implies f(i, j) = \frac{f(i - 1, j) + f(i, j - 1)}{2}\)。submission

D

设 \([l, r]\) 内有 \(cnt_l\) 个元素小于 \(a_i\)，\(cnt_m\) 个元素等于 \(a_i\)，\(cnt_r\) 个元素大于 \(a_i\)。

设中位数为 \(a_{mid}\)：

• \(a_i > a_{mid}\)，距离等于 \(a_l + a_m - \lceil \frac{r - l + 2}{2}\rceil = \lfloor \frac{a_m + a_l - a_r - 1}{2}\rfloor\)。
• \(a_i < a_{mid}\)，距离等于 \(\lfloor \frac{r - l + 3}{2}\rfloor - (a_l + 1) = \lfloor\frac{ a_m + a_r - a_l}{2}\rfloor\)。

\(a_i > a_{mid}\) 时一定有 \(\lfloor \frac{a_m + a_l - a_r - 1}{2}\rfloor > \lfloor\frac{a_m + a_r - a_l}{2}\rfloor\)，\(a_i < a_{mid}\) 时同理，等于时两者取 max：

\[\text{dist} = \max\left(\lfloor \frac{a_m + a_l - a_r - 1}{2}\rfloor, \lfloor\frac{a_m + a_r - a_l}{2}\rfloor \right) \]

对这两部分分别计算。

对于第一部分，设新数组 \(b\) 满足：\(b_j = 1\) 当且仅当 \(a_j \le a_i\)，否则 \(b_j = -1\)。

忽略整除 \(2\) 的部分，所求即 \((\sum_{j = l}^r b_j) - 1\)。

不妨以 \(i\) 为中心分两部分考虑：\((\sum_{j = l}^i b_j) + (\sum_{j = i}^r b_j) - 2\)，前一部分即前缀 \(i\) 的最大后缀，后一部分为后缀 \(i\) 的最大前缀。

线段树维护某个区间的最大前后缀。

按照 \(a_i\) 顺序更新答案，初始 \(b_j\) 全为 \(-1\)，每碰到一个新的 \(a_i\) 就将对应位置修改成 \(1\)，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

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