算法：记忆性搜索算法
转载：JYRoy（转载文章，方便自己回忆）
一：简述
记忆化搜索实际上是递归来实现的，但是递归的过程中有许多的结果是被反复计算的，这样会大大降低算法的执行效率。
而记忆化搜索是在递归的过程中，将已经计算出来的结果保存起来，当之后的计算用到的时候直接取出结果，避免重复运算，因此极大的提高了算法的效率。
二：应用实例
题目描述
对于一个递归函数w(a,b,c)
- 如果 a<=0 or b<=0 or c<=0 就返回值1.
- 如果 a>20 or b>20 or c>20就返回w(20,20,20)
- 如果 a<b并且b<c 就返回w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c)
- 其它的情况就返回w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1)
这是个简单的递归函数，但实现起来可能会有些问题。当a,b,c均为15时，调用的次数将非常的多。你要想个办法才行.
/* absi2011 : 比如 w(30,-1,0)既满足条件1又满足条件2
这种时候我们就按最上面的条件来算
所以答案为1
*/
输入输出格式
输入格式：
会有若干行。
并以-1,-1,-1结束。
保证输入的数在[-9223372036854775808,9223372036854775807]之间，并且是整数。
输出格式：
输出若干行，每一行格式：
w(a, b, c) = ans
注意空格。
输入输出样例
输入样例#1：
1 1 1 2 2 2 10 4 6 50 50 50 -1 7 18 -1 -1 -1
输出样例#1：
w(1, 1, 1) = 2 w(2, 2, 2) = 4 w(10, 4, 6) = 523 w(50, 50, 50) = 1048576 w(-1, 7, 18) = 1
这是一个非常经典的记忆化搜索的题目。
拿到这个题，首先可以想到的就是递归的方法，看上去用递归可以轻而易举的解决。但是递归的开销是不一般的大。下面先给大家上一个递归的代码，以便和之后的记忆化搜索的进行对比。
（注：此法若例子为15 15 15，执行会半小时以上，并没有优化代码）
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include <time.h> //用来记时
4 using namespace std;
5 clock_t start, finish;
6 double duration;
7
8 typedef long long ll;
9 ll f[30][30][30];
10
11 int w(ll a, ll b, ll c){ //递归的函数
12 if(a<=0||b<=0||c<=0){
13 return 1;
14 }
15 else if(a>20||b>20||c>20){
16 return w(20,20,20);
17 }
18 else if(a<b&&b<c){
19 return w(a,b,c-1) + w(a,b-1,c-1) - w(a,b-1,c);
20 }
21 else{
22 return w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1);
23 }
24 }
25
26 int main(){
27 ll a, b, c;
28 while(1){
29 cin >> a >> b >> c;
30 start = clock(); //开始计时
31 if(a==-1&&b==-1&&c==-1) return 0;
32 else{
33 printf("w(%lld, %lld, %lld) = %d\n", a, b, c, w(a, b, c));
34 finish = clock(); //结束记时
35 duration = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC; //计算持续时间
36 printf( "%f seconds\n", duration );
37 }
38 }
39 return 0;
40 }
运行结果
记忆化搜索解法#
开辟一个数组 f[][][]，用来存储计算出来的结果。
关于数组的大小：因为题目中给出了一个条件 “ 如果 a>20 or b>20 or c>20就返回w(20,20,20) ” 那么数组只要最小开到 f[21][21][21]就够用了。
具体的步骤看代码中的注解。
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include <time.h>
4 using namespace std;
5 clock_t start, finish;
6 double duration;
7
8 typedef long long ll;
9 ll f[30][30][30];
10
11 int w(ll a, ll b, ll c){
12 if(a<=0||b<=0||c<=0){
13 return 1;
14 }
15 else if(a>20||b>20||c>20){
16 return w(20,20,20);
17 }
18 else if(f[a][b][c]!=0)return f[a][b][c]; //如果之前被计算过，那么直接返回存在数组中的结果
19 //没有计算过的，就进行的计算
20 else if(a<b&&b<c){
21 f[a][b][c] = w(a,b,c-1) + w(a,b-1,c-1) - w(a,b-1,c);
22 }
23 else{
24 f[a][b][c]=w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1);
25 }
26 return f[a][b][c]; //计算完毕之后返回计算出的结果
27 }
28
29 int main(){
30 ll a, b, c;
31 while(1){
32 cin >> a >> b >> c;
33 start = clock(); //开始计时
34 if(a==-1&&b==-1&&c==-1) return 0;
35 else{
36 printf("w(%lld, %lld, %lld) = %d\n", a, b, c, w(a, b, c));
37 finish = clock(); //结束记时
38 duration = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC; //计算持续时间
39 printf( "%f seconds\n", duration );
40 }
41 }
42 return 0;
43 }
运行结果
三：总结过程
根据上面的题，可以总结一个记忆化搜索的过程。（注：原创作者此总结很精妙）
1 f（problem p）{
2 if(p has been solved){
3 return the result
4 }else{
5 divide the p into some sub-problems (p1, p2, p3...)
6 f(p1);
7 f(p2);
8 f(p3);
9 ...
10 }
