多项式、生成函数 相关

多项式、生成函数 相关

超基础水到爆的记录，有什么问题不要问我，博主也不会（

目录

• 多项式、生成函数 相关
  • 资料
  • 题 and trick/结论
    • \(\prod_{i=1}^n\frac1{1-a_ix}=\sum_{i=1}^n\frac{p_i}{1-a_ix}\)
    • \(F(x)\)是EGF，则\([x^n]e^{F(x)}\)表示将\(n\)个小球放进无限个不分类的盒子的总方案数（一个盒子中有\(i\)个小球，则该盒内小球的方法是\(f[i]\)）
    • 用\(ln\)把乘法转加法

资料

FFT：https://blog.csdn.net/Flag_z/article/details/99163939

生成函数：https://www.luogu.com/article/wx5g5erf

生成函数：https://www.cnblogs.com/pycr/p/14397628.html

多项式全家桶：https://www.luogu.com/article/mmo9r1de

微积分：https://www.luogu.com/article/4h6qa3cj

微积分：https://www.shuxuele.com/calculus/index.html

EGF的exp 组合意义：https://zhuanlan.zhihu.com/p/433578651

生成函数题单：https://www.luogu.com.cn/training/3295#problems

题 and trick/结论

\(\prod_{i=1}^n\frac1{1-a_ix}=\sum_{i=1}^n\frac{p_i}{1-a_ix}\)

• eg: [ABC241Ex] Card Deck Score

这个题目相当于就是求

\[\begin{aligned} &[x^m]\prod_{i=1}^n\sum_{j=0}^{B_i}(a_ix)^j\\ =&[x^m]\prod_{i=1}^n\frac{1-(a_ix)^{B_i+1}}{1-a_ix}\\ =&[x^m]\prod_{i=1}^n(1-(a_ix)^{B_i+1})\times\prod_{i=1}^n\frac1{1-a_ix} \end{aligned} \]

前半直接算，考虑后面怎么弄，这种形式的都可以这样做：

\[\begin{aligned} &\prod_{i=1}^n\frac1{1-a_ix}=\sum_{i=1}^n\frac{p_i}{1-a_ix}\\ &\sum_{i=1}^n\frac{p_i}{1-a_ix}\prod_{i=1}^n(1-a_ix)=1\\ &\sum_{i=1}^np_i\prod_{j\neq i}(1-a_jx)=1 \end{aligned} \]

对每个\(i\)带入\(x=\frac1{a_i}\)，这样就能得到\(p_i\prod_{j\neq i}(1-\frac{a_j}{a_i})=1\)，得到\(p_i=\frac1{\prod_{j\neq i}(1-\frac{a_j}{a_i})}\)

那么可以\(O(N^2)\)算出\(p_i\)，再把\(\frac1{1-a_ix}\)拆回成\(\sum_j(a_ix)^j\)，然后再和前面合并一下就好

复杂度\(O(2^NN+N^2)\)

\(F(x)\)是EGF，则\([x^n]e^{F(x)}\)表示将\(n\)个小球放进无限个不分类的盒子的总方案数（一个盒子中有\(i\)个小球，则该盒内小球的方法是\(f[i]\)）

• 详细讲解：https://zhuanlan.zhihu.com/p/433578651

• eg：P4841 [集训队作业2013] 城市规划

直接套用这个，设\(f[i]\)表示\(i\)个点的联通图的方案，\(g[i]\)表示\(i\)个点随便连的方案，则有\(e^{F(x)}=G(x)\)，然后对\(G(x)\)求\(ln\)即可

用\(ln\)把乘法转加法

• eg：P3784 [SDOI2017] 遗忘的集合