背包九讲

更新说明：

时间	更新内容
2022年9月15日09点39分	01背包问题
2022年9月15日10点56分	完全背包问题

1. 01背包

更舒适的阅读

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V≤1000$
$0<vi,wi≤1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

---

题目关键

• 01背包只有不选与选这两种情况，所以我们只要抓住这两种情况就可以了
• 选：f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]
• 不选：f[i][j]=f[i-1][j]

---

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int f[N];
int w[N],c[N];
int main()
{
    int n,v;
    cin>>n>>v;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=v;j>=c[i];j--){//倒着排就可以避免不是f[i]了
            /*
            
            上面的for(int j=v;j>=c[i];j--) 已经把循环范围控制在v~c[i]中了，所以这里的
            if(j>=c[i]) 就可以省去了
            
            */
            f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
        }
    }cout<<f[v];
    return 0;
}

---

优化

当然我们可以一边输入一边排，这样会简单

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1005;
int f[MAXN];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int v,w;
        cin>>v>>w;
        for(int j=m;j>=v;j--){
            f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
        }
    }
    cout<<f[m];
}

---

---

---

2. 完全背包问题

更舒适的阅读体验

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V≤1000$
$0<vi,wi≤1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

---

解体思路（数学归纳法）

1. 假设前$i-1$个物品之后的所有$f[j]$全部可选
2. 来证明考虑完第$i$个物品后，所有f[j]可选
   对于某个j，每个最优解包含K个v[i];

闫式dp法

状态转移：
一：f[i][j]=max(f[i-1][j-v[i]+w[i]) 二：max(f[i-1][j-2*v[i]]+2*w[i]) 三：max(f[i-1][j-3*v[i]]+3*w[i]);
还可以等价替换
四：f[i][j-v]=max(f[i-1][j-2*v[i]) 五：max(f[i-1][j-3*v[i]]+3*w[i]) 六：max(f[i-1][j-4*v[i]]+4*w[i]);
那么

二和四相等，三和六相等……

但
别想当然
他们还是不一样的

上面一列比下面多个$w[i]$！！！！

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10010;
int f[N];
int w[N],c[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m; 
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=c[i];j<=m;j++) {
            f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[m];
    return 0;
}

优化：（同01背包）

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 10000;
int f[MAXN];    // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 

int main() 
{
    int n;
    int m;  // 背包体积 
    cin >> n >> m;

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = v; j <= m; j++) {
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}