ROIR 2023

ROIR 2023

评分 \(\in[0,10]\)。

https://www.luogu.com.cn/problem/list?type=luogu&page=1&tag=479|60&orderBy=pid&order=asc

矩形分割 (Day 1)

\(3\)。

根据题意列出二元二次方程，用 \(k\) 换元得到一元二次方程。

然后套求根公式解就行了。

留意无解的判断。

斐波那契乘积 (Day 1)

\(2.5\)。

意义不明。

处理到 \(f_{86}\)，因为 \(f_{87}>10^{18}\)。

容易猜到状态数很少。

考虑直接爆搜枚举 \(f_k\)，从 \(now=n\) 开始跑，如果当前 \(f_k\) 是 \(now\) 的因数，则转移到 \(\frac{now}{f_k}\)，\(now=1\) 时退出并计入答案。

扫地机器人 (Day 1)

\(3\)。

意义不明。

记录一下每次正方形位移经过的矩形，做一个矩形面积并，这是扫描线的板子，呃呃。

彩点 (Day 1)

\(5.5\)。

考虑建图，记 \((i,j)\) 为一个点，表示 \(i\) 作为起始点 \(j\) 作为终止点，可以建出若干形如 \((i,j)\to (j,k)\) 的有向边。

则可以枚举每个点作为 \(j\)，然后极角排序，可以做到 \(O(n^2 \log n)\) 建图。

观察图的形态，不难发现是内向基环树森林，更是 DAG。

考虑绿点的判定，\(i\) 是绿点当且仅当存在 \(j\) 使得 \((i,j)\) 在环中，即大小 \(>1\) 的强连通分量，可以使用有向图 Tarjan 判断。

接下来就是蓝点，\(i\) 是蓝点当且仅当它不是绿点，且存在 \(j\) 使得从 \((i,j)\) 能到达 \((i,k)\)，是一个可达性的问题，拓扑排序时用 bitset 维护一下连通性（注意是点 \(i\) 的情况而不是 \((i,j)\) 的情况，含义为形如 \((i,k)\) 的点的连通性，相当于一起处理了，显然判断蓝点确实只需要知道这样的信息），可以做到 \(O(\frac{n^3}{\omega})\)。

地铁建设 (Day 2)

\(2.5\)。

一个发电机的功率与电压关系虽然是分段函数，但是容易发现仍然据有单调性，直接二分。

美丽序列 (Day 2)

\(3.5\)。

意义不明。

\(n\le 100,m\le 8\)，直接状压，设计 dp 状态 \(dp_{i,\{x_1,x_2,\dots,x_7,x_8\}}\)，表示当前序列长度和每个数字上次出现的位置的到 \(i\) 的距离，然后直接转移即可。

状态数是 \(O(nm!)\) 的，能过。

也可以直接存 \(i\) 往前 \(7\) 位序列的具体数字，目测也能过。

石头 (Day 2)

\(5.5\)。

大分讨，题目出得不错。

观察最终状态，如果要使 \(p\) 在第 \(k\) 次被染白，则可以是 \([p,p+k-1]\) 全部被染白，也可以是 \([p-k+1,p]\) 全部被染白，两种情况等价。

考虑 \([p,p+k-1]\) 被染白的情况，设 \(\argmax_{i=p}^{p+k-1} a_i=j\)，则可以通过 \(j\) 为跳板，进行分类讨论，如果想到了这个，离切这题就不远了。

最前置的要求，\(a_p<a_{p+k}\)，否则在 \([p+1,p+k-1]\) 时肯定会先染 \(p+k\)。

显然 \([p,j-1]\) 肯定都不存在贡献，因为都比 \(a_j\) 小，肯定会在 \(a_j\) 前先被染色。

然后进行讨论：

• \(a_j<a_{p+k}\)，此时 \([j+1,p+k-1]\) 都可以产生贡献，路径都是先往右拓展到 \(p+k-1\)，然后再往左一直到 \(p\)。而 \(j\) 产生贡献，当且仅当 \(p\) 最后被染色，此时要求 \([p,j-1]\) 存在一个数大于 \([j+1,p+k-1]\) 的所有数，使得右边先染色完。

• \(a_j>a_{p+k}\)，此时 \([j+1,p+k-1]\) 一定没有贡献，这是显然的。此时只有 \(j\) 可能产生贡献，首先得满足 \([p,j-1]\) 存在一个数大于 \([j+1,p+k-1]\) 的所有数，且出了 \(a_j\) 之外的数都得 \(<a_{p+k}\) 否则一定会先染到它。

特判 \(k=1\)。

一个普通的字符串问题 (Day 2)

\(?\)。

BEST 定理，没学，待填坑。