【题解】abc172_e NEQ

abc172_e NEQ

题意

给定 \(n,m\)，求有多少组 \(a,b\) 序列满足：

• \(|a|=|b|=n\)。

• \(a_i,b_i \in [1,m]\)

• \(a\) 中元素各不相同。

• \(b\) 中元素各不相同。

题解

知识点：二项式反演，组合数学，容斥原理。

经典。

设 \(g_k\) 为恰有 \(k\) 位相同的方案数。

设 \(f_k\) 为钦定 \(k\) 位相同，其他随便选的方案数。

所以有，

\[\large \displaystyle f_k=\sum_{i=k}^n \binom{i}{k} \times g_i \]

二项式反演，

\[\large \displaystyle g_k=\sum_{i=k}^n \binom{i}{k} \times (-1)^{i-k} f_i \]

根据 \(f_k\) 定义得出，

\[\large \displaystyle f_k=\binom{n}{k} \times A_m^k\times (A_{n-k}^{m-k})^2 \]

答案即为 \(g_0\)，此时 \(g_0=\sum_{i=0}^n (-1)^{i} f_i\)，退化为了一般的容斥原理。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);++i)
#define per(i,l,r) for(int i=(r);i>=(l);--i)
#define pr pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define sz(x) (x).size()
#define bg(x) (x).begin()
#define ed(x) (x).end()

#define N 502504
#define int long long

const int mod=1e9+7;
int n,m;

namespace comb{
    int fac[N],iv[N];

    inline int inv(int a){
        int ans=1,b=mod-2;

        while(b){
            if(b&1){
                ans=ans*a%mod;
            }
            a=a*a%mod;
            b>>=1;
        }

        return ans;
    }

    inline int C(int n,int m){
        return fac[n]*iv[n-m]%mod*iv[m]%mod;
    }

    inline void init(int lim){
        fac[0]=1;
        rep(i,1,lim){
            fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        }

        iv[lim]=inv(fac[lim]);
        per(i,0,lim-1){
            iv[i]=iv[i+1]*(i+1)%mod;
        }
    }
}

inline int neg(int x){
    return x&1?-1:1;
}

using comb::C;
using comb::fac;

inline int f(int k){
    return C(n,k)*fac[k]%mod*C(m,k)%mod*C(m-k,n-k)%mod*C(m-k,n-k)%mod*fac[n-k]%mod*fac[n-k];
}

signed main(){
    // freopen(".in","r",stdin);
    // freopen(".out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);

    cin>>n>>m;

    comb::init(5e5);

    int ans=0;

    rep(i,0,n){
        ans=(ans+mod+
            C(i,0)*neg(i-0)*f(i)%mod
        )%mod;
    }

    cout<<ans;

    return 0;
}