4152:最佳加法表达式

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描述

给定n个1到9的数字，要求在数字之间摆放m个加号(加号两边必须有数字），使得所得到的加法表达式的值最小，并输出该值。例如，在1234中摆放1个加号，最好的摆法就是12+34,和为36

输入

有不超过15组数据

每组数据两行。第一行是整数m，表示有m个加号要放( 0<=m<=50)

第二行是若干个数字。数字总数n不超过50,且 m <= n-1

输出

对每组数据，输出最小加法表达式的值

样例输入

2

123456

1

123456

4

12345

样例输出

102

579

15

提示

要用到高精度计算，即用数组来存放long long 都装不下的大整数，并用模拟列竖式的办法进行大整数的加法。

思路:

假定数字串长度是n，添完加号后,表达式的最后一个加号添加在第 i 个数字后面，那么整个表达式的最小值，就等于在前 i 个数字中插入 m – 1个加号所能形成的最小值，加上第 i + 1到第 n 个数字所组成的数的值（i从1开始算）。

设V(m,n)表示在n个数字中插入m个加号所能形成的表达式最小值，那么：

if m = 0

　　V(m,n) = n个数字构成的整数

else if n < m + 1

　　V(m,n) = ∞

else

　　V(m,n) = Min{ V(m-1,i) + Num(i+1,n) } ( i = m … n-1)

Num(i,j)表示从第i个数字到第j个数字所组成的数。数字编号从1开始算。此操作复杂度是O(j-i+1)

总时间复杂度：O(mn²) .（dp二维表已经加号的位置）

 

代码:

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        int m;
        String s;
        BigInteger n,temp,mn,inf = new BigInteger("9999999999999999999999999999999999999");
        BigInteger dp[][] = new BigInteger[55][55];
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        while(in.hasNext()){
            m = in.nextInt();
            n = in.nextBigInteger();
            for(int i = 0;i < n.toString().length();i++)
                dp[0][i] = new BigInteger(n.toString().substring(0, i + 1));//先初始化dp数组
            for(int i = 1;i <= m;i++){
                for(int j = 0;j < n.toString().length();j++){//下标从0开始
                    if(i > j)
                        dp[i][j] = inf;
                    else{
                        mn = inf;
                        for(int k = i;k <= j;k++){
                            temp = dp[i - 1][k - 1].add(new BigInteger(n.toString().
                            substring(k,j + 1)));
                            mn = mn.min(temp);
                        }
                        dp[i][j] = mn;
                    }
                }
            }
            System.out.println(dp[m][n.toString().length() - 1]);
        }
    }
}