「SOL」屠龙勇士(LOJ)
写题解当作复习笔记
（这样就可以少写一篇博客了 Yeah）
# 题面
> Link LOJ 2721
# exCRT
「问题」
求解线性同余方程组
$$ \begin{cases} x\equiv a_1\pmod{m_1}\\ x\equiv a_2\pmod{m_2}\\ \cdots\\ x\equiv a_n\pmod{m_n} \end{cases} $$
$m$ 可以不互质。
考虑等价地合并两个同余方程：
可以把同余方程写为不定方程的形式，于是得到参数的一些关系：
由于 \(m_1,m_2\) 不一定互质，所以关于 \(k_1,k_2\) 的不定方程不一定有解。具体地说，设 \((m_1,m_2)=g\)，则
等式左侧 \(g\mid k_1m_1-k_2m_2\)，则右侧也必须满足 \(g\mid a_2-a_1\)，否则无解。
若满足上述条件，则等式两边同时除以 \(g\) 仍然等价，即
此时 \((m_1',m_2')=1\)，可以直接用 exGCD 解决上述问题，得到 \(k_1\) 的一个特解为 \(k_0\)。由
可以知道 \(k_1\) 的通解为 \(k_1=k_0+nm_2'(n\in\mathbb{Z})\)。
将 \(k_1\) 代回 \(x\) 的表达式，则有
于是就得到了两个式子合并后的等价的式子。这样不断合并就可以得到最终 \(x\) 的通解。
# 解析
一开始可以根据输入求出「用哪一把剑攻击第 \(i\) 条龙」，记为 \(w_i\)。具体可以用 multiset 实现。
点击展开/折叠multiset使用技巧
multiset 内部每个位置储存了一个元素（并不是把相同的元素合到同一个位置并且记录次数），因此用迭代器 iterator 访问其中的某个位置，访问到的是单个元素。如果按迭代器顺序访问 multiset，就相当于把插入的所有元素排了个序。
multiset 内置有 lower_bound 和 upper_bound 函数，前者返回第一个大于等于给定值的元素的迭代器，后者返回第一个严格大于给定值的元素的迭代器。
multiset 的 delete 函数有两类参数。第一类是给定数值，会删除其中所有该数值；第二类是给定迭代器，会删除迭代器对应的元素——这样就只会删掉一个数字。
利用这些特点，我们可以用 upper_bound 找到第一把攻击力大于龙的生命值的剑，而上一把剑就是攻击力小于等于生命值的剑。然后用 delete 删除该剑的迭代器（不能是数值！）。
记龙的生命为 \(h_i\)，回复力为 \(r_i\)，则有两个限制：
- 攻击后龙的生命模 \(r_i\) 余 \(0\)；
- 攻击后，龙的生命小于等于 \(0\)。
问题直接转化为 \(n\) 对方程构成的方程组
不等式方程可以求出 \(x\) 的下界。考虑如何求解同余方程。
\(w_i,r_i\) 不一定互质，于是可能本身就无解。记 \((w_i,r_i)=g_i\)，则必须满足 \(g_i\mid h_i\)，方程才有解。
满足有解的条件后，\(w_i,h_i,r_i\) 同时除以 \(g_i\)，得到等价的方程 \(w_i'x=h_i'\pmod {r_i'}\)，此时 \((w_i',r_i')=1\)，\(w_i'\) 存在逆元，于是可以得到
这个方程就可以用 exCRT 了。
# 源代码
点击展开/折叠代码
/*Lucky_Glass*/
#include<set>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
template<class T>T rin(T &r){
int b=1,c=getchar();r=0;
while(c<'0' || '9'<c) b=c=='-'?-1:b,c=getchar();
while('0'<=c && c<='9') r=(r<<1)+(r<<3)+(c^'0'),c=getchar();
return r*=b;
}
typedef long long llong;
const int N=1e5+10;
#define con(type) const type &
multiset<llong> sword;
int n,m;
llong ih[N],rec[N],rew[N],atk[N];
llong ina_GCD(con(llong)a,con(llong)b){return b?ina_GCD(b,a%b):a;}
llong ex_GCD(con(llong)a,con(llong)b,llong &x,llong &y){
if(!b){x=1,y=0;return a;}
llong ret=ex_GCD(b,a%b,x,y);
swap(x,y);
y-=a/b*x;
return ret;
}
llong ina_ABS(con(llong)a){return a<0?-a:a;}
llong mul(llong a,llong b,llong mod){
bool neg=(a<0)^(b<0);
a=ina_ABS(a),b=ina_ABS(b);
a%=mod,b%=mod;
llong ret=0;
while(b){
if(b&1) ret=(ret+a)>=mod? ret+a-mod:ret+a;
a<<=1,b>>=1;
if(a>=mod) a-=mod;
}
if(neg && ret) return mod-ret;
return ret;
}
pair<llong,llong> comb_CRT(con(llong)m0,con(llong)r0,con(llong)m1,con(llong)r1){
llong g=ina_GCD(m0,m1);
if((r1-r0)%g){
// printf("(%lld,%lld)=%lld %lld %lld\n",m0,m1,g,r1,r0);
return make_pair(-1ll,-1ll);
}
llong p,q;
ex_GCD(m0/g,m1/g,p,q);
p=mul((r1-r0)/g,p,m1/g);
llong m2=m0/g*m1,r2=(mul(p,m0,m2)+r0)%m2;
if(r2<0) r2+=m2;
return make_pair(m2,r2);
}
llong solve(){
sword.clear();
rin(n),rin(m);
for(int i=1;i<=n;i++) rin(ih[i]);
for(int i=1;i<=n;i++) rin(rec[i]);
for(int i=1;i<=n;i++) rin(rew[i]);
for(int i=1,tmp;i<=m;i++) sword.insert(rin(tmp));
for(int i=1;i<=n;i++){
multiset<llong>::iterator it=sword.upper_bound(ih[i]);
if(it!=sword.begin()) it--;
atk[i]=*it;
sword.erase(it);
sword.insert(rew[i]);
}
llong mnbon=0;
pair<llong,llong> now(-1ll,-1ll);
for(int i=1;i<=n;i++){
mnbon=max(mnbon,(ih[i]+atk[i]-1)/atk[i]);
llong k=atk[i],r=ih[i],m=rec[i];
// printf("%lld x = %lld (mod %lld) -> ",k,r,m);
//kx = r (mod m)
k%=m,r%=m;
if(!k){
if(r){
// printf("A\n");
return -1ll;
}
continue;
}
llong g=ina_GCD(k,m);
if(r%g){
// printf("B\n");
return -1ll;
}
k/=g,m/=g,r/=g;
llong invk,non;
ex_GCD(k,m,invk,non);
invk=(invk%m+m)%m;
r=mul(r,invk,m);
// printf("x = %lld (mod %lld)\n",r,m);
pair<llong,llong> tmp(m,r);
if(i==1) now=tmp;
else now=comb_CRT(now.first,now.second,tmp.first,tmp.second);
if(now.first==-1){
// printf("C\n");
return -1ll;
}
}
if(now.first==-1) return mnbon;
if(now.second>=mnbon) return now.second;
else{
llong k=(mnbon-now.second+now.first-1)/now.first;
return now.second+k*now.first;
}
}
int main(){
// freopen("input.in","r",stdin);
freopen("dragon.in","r",stdin);
freopen("dragon.out","w",stdout);
int cas;rin(cas);
while(cas--) printf("%lld\n",solve());
return 0;
}
