拓展欧几里得求逆元

为什么要学逆元

我也不知道，比如(a/b)%p要是里面是个分数就g了
逆元说白了就是倒数

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逆元的概念

在 (a / b) % p 中，我们可以使用逆元的概念将其表示为 (a * b') % p，其中 b' 是 b 在模 p 意义下的逆元。注意是是b在%p的逆元是b‘

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心得

ax ≡ 1 (mod b)

ax+by=1 这个已经是知道的

我们要求的是x 欧几里得可以拿来解二元一次的 因为ax+by=gcd（a，b）这是一定的

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然后就是

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(a * x) % m = 1 我后面会提到一个问题

在下面的代码中 return a=1，就是两个互质的最大公约数 为1 也只有互质了 我们才可以求逆元 这是一定的

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在 int d = exgcd(b, a % b, y, x); 这一行，递归返回的结果 d 被记录就是1，x 和 y 的值也被更新为递归调用中传递的 y 和 x。

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加深了我对&这个的理解

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然后就是((LL)x % m + m) % m ，我们要的逆元是正整数，真的不考虑负数

注意负数%也是负数 所以加m下面第一行考虑的x为正数 不过一般谁考虑x是负数 当然了除非题目说了，比如 2* (-3) ≡ 1 (mod -5)。
逆元就是-3
（a/b）%p=（a*x）%p


(LL)x % m：取 x 对 m 的余数。这确保结果在 [0, m-1] 的范围内。

+ m：为了确保结果是非负数，加上 m。

% m：再次取模，确保结果在 [0, m-1] 的范围内，同时保留正整数。

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回答上面那个问题 我当时想如果x是-2 m=5输出不成3吗 （a * x) % m = 1 要满足这个的不是乱来的。

那只是我的月意想

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下图介绍了原理和证明，实际中exgcd这个函数会一直执行到b==0为止，具体有多少次，很多吧，

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exgcd(b, a % b, y, x);

(int a, int b, int &x, int &y)

注意这个 每一次y直接赋值给了x，就简化了。

然后就是计算了 根图片上说的一样。

其实是gcd（a，b）=gcd（b，a%b）=gcd（（a%b,b%(a%b)））.....

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下面是用于求解

ax+by=gcd（a，b)的解的代码 包含了逆元 逆元就是后面直接为1了

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#include<iostream>
using namespace std;
int x, y;
 void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{	if(b == 0){
		x = 1, y = 0;
		return ;
	}
	  exgcd(b, a % b, y, x);
	  y = y - a / b * x;
     
}

int main(){
	int n, a, b;
	cin >> n;
	while(n -- ){
		cin >> a >> b; exgcd(a, b, x, y);
		cout << x << ' ' << y << endl;
	}
}

没什么好说的 短短的代码却写了这么久 理解这么久累死我了