狄利克雷卷积 个人总结

前言

今天刚好学了这个的卷积，对此有点体会但不多

首先是狄利克雷的生成函数

F(x)=a1/1^x+a2/2^x+....+an/n^x...

=∑(∞,n=1)an/n^x

他的乘法

∑(∞,i=1)ai/i^x*∑(∞,j=1)bj/j^x

=.....+a1b4+a2b2+a4b1/4^x+....

=∑(∞,n=1)1/n^x * ∑(d|n)ad*b(n/d)

补充下积性函数

gcd(a,b)=1,f(1)=1 f(ab)=f(a)*f(b)

欧拉函数的性质

我之前不知道

有∑(d|n)φd=n

莫比乌斯函数的性质

∑(d|n)u(d)=[n=1]

除了n=1外 即d=1外 别的其约数之和都是0

举个例子
当n=4 u1=1 u2=-1 u4=0 总和刚好为0

从而有

∑(d|n)u(d)*(n/d)=φn 

这玩意我是背的
也能看明白推的过程
狄利克雷的卷积

(f*g)(n)

=∑(d|n)f(d)*g(n/d)

=∑(d|n)g(d)*f(n/d)
(f*g)(4)=f1g4+f2g2+f4g1

下面有元函数 常数函数 恒等函数的定义
第一个 莫比乌斯

第二个 卷它就是1

第三个卷它等于本身

常用卷积关系
这里乘号不是乘号 是卷积
f*1 不等于 f

(f*1)(n)=∑(d|n)f(d)1(n/d)

=∑(d|n)f(d)

别的自己看吧