区间覆盖问题的贪心策略

区间覆盖问题

数轴上有n个闭区间[ai,bi]，选择尽量少的区间覆盖一条指定线段[s,t]。

《算法竞赛入门经典》P154 

 

重点说一下区间覆盖的贪心策略

 

首先将所有区间超出[s,t]的部分切掉，再对所有区间按a从大到小排序①，如果区间1的起点大于s，则无解。

对n个区间扫描一次，代码：

l = area[0].a;r = area[0].b;  //把第一个区间的左右端点付给左右边界lr。②

cnt = 1;  //计数已记录下第一个区间

for(i = 1;i < n;i++){   //从第二个区间开始扫描

  if(area[i].a > r) break;  //不能和当前区间链接，无解

  else if(area[i].a <= l && area[i].b > r) r = area[i].b;  //当前区间可以替代最近一次更新的r，达到最优。③

  else if(area[i].a > l && area[i].b > r) l = r , r = area[i].b , cnt++; //当前区间超过了左边界l，更新l和r，并计数。④

}

if(r == t) printf("%d\n",cnt);  //右r界等于右端点t，否则无解

 

说明：

①为什么不用在a相等情况下按b的大小排序？在③中对r的更新不需要有序的area[i].b。

②l是当前未覆盖区域的左边界，即已覆盖区域的右边界；r可以理解为在未覆盖区域内，可以覆盖最大区间的右边界。

③这一步隐式实现了找到未覆盖区间内的最长区间。

④如何保证这里的r是最优解？这一步不能保证，要通过③更新到最优解。

另外，要注意相等情况下的处理：

判断中的 area[i].a<=l 和 area[i]>l 不能写成 area[i].a<l 和 area[i]>=l。

显然在 area[i].b<=r 的情况下，可以忽略掉当前区间area[i]。