[省选联考 2020 A 卷] 树

• P6623 [省选联考 2020 A 卷] 树

题目描述

给定一棵树，每一个点带权 \(v_i\)。

每一个点的答案为其子树内节点"点权加距离"的异或和。

求所有点答案的和。

做法

把每一位拆开来考虑贡献。

考虑每一个点对其祖先的贡献，发现产生贡献的点是若干段深度连续的区间。

举个例子：

节点点 \(u\) 深度为 \(16\)，权值为 \(0\)，考虑其第二进制位上第二位（\(2^2 = 4\)）对其祖先的贡献。

只有深度在 \([1,4] \bigcup [9,12]\) 的节点 \(v\) 会受到节点 \(u\) 的影响。

形式化来讲，只有深度 \(d\) 在模 \(2^3 = 8\) 意义下属于 $ [1, 4]$ 的节点 \(v\) 会受到节点 \(u\) 的影响。

上面举的是一个特殊的例子，来个更加形式化的表述吧。

考虑第 \(b\) 位，对于一个点 \(u\)，它的深度为 \(d_u\)，思考它哪些些深度 \(d_v\) 会产生贡献。

\[2^b \le v_u + d_u - d_v < 2^{b + 1} \]

解个不等式就能知道深度 \(d_v\) 的区间了。

发现这个性质就好办了，分位考虑后模意义下修改的是一段区间，用树状数组做。

要求的点在子树内，用树差分做。

总复杂度 \(O(n \log^2 n)\)。

洛谷评测机太慢需要开 O2 才能通过。

后记

开考前看见考试包里有个题叫 tree，我就觉得我要翻盘了。

开场搞这题，后面确实切掉了。

但是第一题这简单题怎么就我没切啊。。。

退役了退役了。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 525015;

int n;
int fa[N], val[N];
int head[N], nex[N], to[N], ecnt;
int full[21], is[N][21];

inline int read() {
    int x = 0; char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    return x;
}
inline void addE(int u, int v) {
    to[++ecnt] = v;
    nex[ecnt] = head[u], head[u] = ecnt;
}

struct BIT {
#define lowbit(x) (x & -x)
    int upp;
    vector<int> c;
    void init(int upLim) {
        upp = upLim;
        c.resize(upLim);
    }
    void update(int p) {
        if(!p) return c[0] ^= 1, void();
        for(int i = p; i < upp; i += lowbit(i))
            c[i] ^= 1;
    }
    int xorSum(int p) {
        int res = c[0];
        for(int i = p; i; i -= lowbit(i))
            res ^= c[i];
        return res;
    }
#undef lowbit
} tr[21];

inline void update(int b, int x, int d) {
    int l = ((1 << b) - x + d) & full[b], r = ((1 << (b + 1)) - x + d) & full[b];
    if(l < r) {
        tr[b].update(l), tr[b].update(r);
    } else {
        tr[b].update(0), tr[b].update(r), tr[b].update(l);
    }
}
inline int calc(int b, int d) { return tr[b].xorSum(d & full[b]); }

long long ans;
void dfs(int u, int dep) {
    for(int b = 0; b <= 20; ++b)
        is[u][b] ^= calc(b, dep);
    for(int i = head[u]; i; i = nex[i])
        dfs(to[i], dep - 1);
    int res = 0;
    for(int b = 0; b <= 20; ++b) {
        update(b, val[u], dep);
        is[u][b] ^= calc(b, dep);
        if(is[u][b]) res += 1 << b;
        ans += is[u][b] ? 1 << b : 0;
    }
}

int main() {
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        val[i] = read();
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        fa[i] = read();
        addE(fa[i], i);
    }
    for(int b = 0; b <= 20; ++b)
        full[b] = (1 << (b + 1)) - 1;
    for(int b = 0; b <= 20; ++b)
        tr[b].init(1 << (b + 1));
    dfs(1, n);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}