[ABC132F] Small Products

• AT4817 [ABC132F] Small Products

题目描述

给定 \(N\), \(K\)，问有多少个长度为 \(K\) 的正整数序列满足相邻元素的乘积不超过 \(N\)。

正解

考虑递推，设 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个位置填 \(j\) 的方案数。

然而值域实在太大，要将所有数存下来实在不太可行。

考虑有哪些状态本质上是相同的。

序列中一个元素 \(a_i\)，可以转移到下一个位置 \(a_{i + 1} \leq \lfloor N / a_i \rfloor\)，发现 \(\lfloor N / a_i \rfloor\) 只有 \(\sqrt N\) 种取值，可以直接记录下来。

那么将 \(a_i \le \sqrt N\)，\(a_i > \sqrt N\) 分别记录即可。

转移要用前缀和优化一下，实现的时候可以从大往小枚举记录前缀和 / 后缀和。

时间复杂度 \(O(K \sqrt N)\)

\(\color{DeepSkyBlue} {Code :}\)

#include <bits/stdc++.h>
#define N 105
#define V 31627

using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;

int n, K;
int f[N][V], g[N][V];
int cnt[V];

int main() {
	scanf("%d %d", &K, &n); 

	int p = sqrt(K);
	for(int i = 1; i < p; ++i)
		cnt[i] = K / i - K / (i + 1);

	cnt[p] = K / p - p;
	for(int i = 1; i <= p; ++i) {
		f[1][i] = 1;
		g[1][i] = cnt[i];
	}

	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		int sum = 0;
		for(int j = 1; j <= p; ++j) {
			sum = (sum + f[i][j]) % mod;
			g[i + 1][j] = 1LL * sum * cnt[j] % mod;
		}
		for(int j = p; j >= 1; --j) {
			sum = (sum + g[i][j]) % mod;
			f[i + 1][j] = sum;
		}
	}

	printf("%d\n", f[n + 1][1]);
	return 0;
}