「总结」多项式生成函数例题(4)

就是大概做点题：

1.（车万题？）哈德曼的妖怪少女
http://121.17.168.211:8005/contest/275/problem/2
这个题考场上不会复合逆，打表出了小于6的，剩下的部分就可以直接用类似数树的方法用\(exp\)统计了。
然后说一下正解。

其实这个题分两步。
第一步：求出大小为某个数的边双的方案数。
第二步:用类似数树的方法组合各个边双，成为一颗边双树。
对于做过了数树的我来说第二步仅仅是一个套路。
难点在于第一步。
不妨先计算有根边双的数目。
设\(b_i\)为\(i\)个点的有根边双数目，\(d_i\)是\(i\)个点的连通图个数。
设：

\[B(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{b_ix^i}{i!} \]

\[D(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{d_ix^i}{i!} \]

我们枚举根所在的边双的大小。
紧接着统计和这个边双连接的边所作出的贡献。
这个边一端连接着边双，另一侧连接着一个连通图。
设这些边在不考虑边双内部结构情况下,\(n\)个点的边双连接着\(i\)个连通图的方案数的生成函数为\(G_n(x)\)。
那么：

\[G_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{(nD(x))^i}{i!}=e^{nD(x)} \]

那么一张无向连通图的方案数的生成函数就是:

\[D(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{b_iG_i(x)x^i}{i!}=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{b_ie^{iD(x)}x^i}{i!}=B(xe^{D(x)}) \]

设\(P(x)=xe^{D(x)}\)
那么：

\[D(x)=B(P(x)) \]

可以用扩展拉格朗日反演来求我们所需要的\(B\)的某一项！
对这个公式应用扩展拉格朗日反演。

\[b_n=\frac{1}{n}[x^{n-1}]D'(x)\left(\frac{x}{P(x)}\right)^n \]

然后\(D\)的话我之前讲过城市规划那个题的另外一种做法，直接求\(ln\)的，可以在我那篇 讲解（3）中找到。
这样的话我们利用\(ln\)和\(exp\)就可以在\(nlogn\)的时间内求出所有需要的\(b_i\)。
剩下的部分是把这些边双组合起来。
考虑现在是一堆连通块需要联通成为一棵树。
这个方案可以用\(prufer\)序列计数，设连通块个数是\(m\)，每个连通块的大小是\(a_i\),那么方案数是：

\[n^{m-2}\prod\limits_{i=1}^{m}a_i=\frac{n^m\prod\limits_{i=1}^{m}a_i}{n^2} \]

这样的话每一个连通块的贡献都是\(na_i\)。
我们的有根计数已经算上了\(a_i\)，现在给每一项都乘上\(n\)即可，因为有编号所以用\(egf\)。
设一个连通块对答案贡献的指数型生成函数是：

\[A(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}[i\in S]\frac{b_inx^i}{i!} \]

设大小为\(i\)个点的答案的\(egf\)函数为:\(F(x)\)。
那么：

\[F(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}\frac{A^i(x)}{i!}=e^{A(x)} \]

这样就简单了。
直接\(exp\)即可。
然后答案就是：

\[ans=\frac{n![x^n]F(x)}{n^2} \]

问题就解决了。

2.大朋友和多叉树
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3684
这个题就更简单一点了。
然而打个多项式全家桶一晚上就过去了。。。
还是不够熟练啊。
首先发现似乎是\(MTT\)，分解一下模数发现虚惊一场。
仍然可以用\(NTT\)，原根是7。
然后考虑一颗以根点权为下标的方案的生成函数。
因为只考虑树的形态，所以是\(OGF\)。
那么设这个函数为\(G(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}a_ix^i\)。
有：

\[G(x)=x+\sum\limits_{i\in S}G^i(x) \]

也就是说，一个点要么是叶子，，要么是某个子树，子树的个数是有限制的，加入这个限制就是这个样子了。
变换一下:

\[G(x)-\sum\limits_{i\in S}G^i(x)=x \]

\[F(G(x))=x \]

\[F(x)=x-\sum\limits_{i\in S}x^i \]

这样可以发现\(F(x),G(x)\)互为复合逆。
直接用拉格朗日反演：

\[[x^n]G(x)=\frac{1}{n}[x^{n-1}](\frac{x}{F(x)})^n \]

这样写个全家桶就行了。