「总结」多项式生成函数相关(4)

这次是多项式复合逆和拉格朗日反演以及扩展拉格朗日反演。

对于已知的两个常数项为0的多项式函数\(F(x),P(x)\)，若满足：

\[F(P(x))=P(F(x))=x \]

那么称多项式\(F(x),P(x)\)互为复合逆。

对于满足\(F(G(x))=G(F(x))=x\)的两个多项式求，\(G(x)\)的第\(n\)项。

\[G(x)=\sum\limits_{i=1}a_ix^i \]

那么：

\[\begin{aligned} G(F(x))&=\sum\limits_{i=1}a_iF^i(x)=x\\ \sum\limits_{i=1}ia_iF^{i-1}(x)F'(x)&=1\\ \sum\limits_{i=1}ia_iF^{i-n-1}(x)F'(x)&=\frac{1}{F^n(x)}\\ \end{aligned}\]

对于复合函数的求导和积分来说有：

\[(F^a(x))'=aF^{a-1}(x)F'(x) \]

\[\int F^a(x)F'(x)=\frac{F^{a+1}(x)}{a+1} \]

那接着化式子。

\[\begin{aligned} na_n\frac{F'(x)}{F(x)}+\sum\limits_{i=1,i\not =n}\frac{i}{n-i}a_i(F^{i-n}(x))'&=\frac{1}{F^n(x)}\\ [x^{-1}](na_n\frac{F'(x)}{F(x)})&=[x^{-1}]\frac{1}{F^n(x)}\\ \end{aligned} \]

然后你发现：
对于任意的多项式函数\(F(x)\)
都有：$$[x^{-1}]\frac{F'(x)}{F(x)}=1$$
那么也就是说：

\[a_n=\frac{1}{n}[x^{-1}]\frac{1}{F^n(x)}=\frac{1}{n}[x^{n-1}]\left(\frac{x}{F(x)}\right)^n \]

扩展拉格朗日定理也类似。
这里不推了。
给出结论：
对于满足\(F(G(x))=G(F(x))=H(x)\)的两个多项式求，\(G(x)\)的第\(n\)项。

\[a_n=\frac{1}{n}[x^{n-1}]H'(x)\left(\frac{x}{F(x)}\right)^n \]