博弈论

题单：https://cplusoj.com/d/senior/contest/69faf5321363e1a076b48956

T1

首先把吃掉最后一颗就输的定义修改一下，改成不能全部吃完，无法操作的人输了，然后，注意到，如果给糖果从大到小排序，删掉最大值相当于删掉最左边一列，全部减一相当于删掉最下面一列，如图，然后可以转为在网格图上走，，注意，黑色边界不能走到，然后就可以分析每个节点的状态了，如图，其中，⚪是必胜态，×是必败态，注意到一个斜线上的状态都是相同的，所以我们直接跳到最右上角的点，然后判断往上走还是右走是否能赢就行了。

T2

打表题，首先把sg函数打表打出来，然后发现零的位置间隔一直是4,4,10,4,12，所以周期就是34，然后把76以内的表打出来，然后询问的时候mod 43就行了。

T3

这题没什么性质，考虑直接维护sg函数，设sg(u)表示只考虑u的子树的sg函数，转移的话，考虑所有后继状态，就是选择子树内的白色点，然后这个点到u的所有点全部染黑，实际上相当于把u子树分割成若干个森林，然后这个状态的sg值就是所有森林的sg值的异或和。

考虑如何维护这个东西，我们可以使用01trie来维护u的所有后继状态的sg值，我们发现，u的所有后继状态，实则是u的儿子v的所有后继状态和v的兄弟们的sg值的异或和，所以说我们可以将v的01trie异或上兄弟们的异或和，可以用一个tag维护，然后与u的01trie合并就行了，还有，u如果是白色点，自己可以被涂黑，再插入这个后继状态就行了。已经知道了u所有后继状态的sg值，如何求mex呢，考虑01trie上二分，如果0边上已经满了，那么就递归1边，否则递归0边，所以trie上还要记录这个子树是不是满的，然后求答案的时候利用已经算出来的sg值再dfs一边就行了。

T4

首先，这个不是公平组合游戏，因为公平组合游戏的条件是无法行动者输，而这个的条件是达到某个状态时直接获胜，所以，考虑修改游戏描述。先分析 \(1 \times n(n>1)\) 的情况，显然是先手必胜的，所以先手会尽量避免割出这种情况，那我们直接强制规定必须割边长 \(>1\) 的长方形，然后不能割的人输，然后记忆化搜索计算sg函数就行了。(注意求mex的时候，vis数组清空的问题)

T5

不妨设x>=y，如果相等的话，先手胜，如果x>=2y的话，x可以变成x mod y或者 x mod y+y，因为后者必须转移到前者，所以后者的状态是前者取反，所以必有一个是必败点，所以x>=2y必胜，那么就是x<2y的情况，只有一种转移，x直接-y就行。时间复杂度跟欧几里得算法一样，O(log n)。

T6

打表题，考虑组之间是独立的，所以只用考虑每组的sg函数再异或起来就行，所以说对于每对x,y打表，如图:，显然，这是一个分形，递归求解即可。