图论入门

由于本人是小升初，图论学的不多，有错误请多多指教。

前置知识：无。

图的概念

图，就是由很多个结点和很多条边组成的数据结构，也可以表示成二元组 \(G=(V(G),E(G))\)，其中 \(V(G)\) 代表图 \(G\) 的点集，\(E(G)\) 代表图 \(G\) 的边集，每个点可能有点权，边也可能有边权。

有向图和无向图

有向图，顾名思义，就是每条边都有方向的图；
无向图和有向图相对，每条边都没有方向的图。

有向图：

无向图：

简单图和多重图

简单图就是没有重边（两条完全相同的边）或自环（从自己到自己的边）的图；
多重图和简单图相对，就是允许有重边和自环的图。

若无特殊说明，图一般指简单图。

简单图：上面两个图都是简单图。
多重图（自环真画不上）：

完全图

有向完全图（竞赛图）中，任意两个结点都有且仅有一条有向的边，共有 \(n \times (n-1)\) 条边；
无向完全图中，任意两个结点都有且仅有一条边，共有 \(\frac{n \times (n-1)}{2}\) 条边。

有向完全图：

无向完全图：

二分图

二分图就是可以将结点划分成两个集合的图，使得图中每条边都连接两个不同集合的结点，换言之，假设两个集合分别叫 \(A\) 和 \(B\)，那么二分图中，在集合 \(A\) 中的结点连接的结点均为集合 \(B\) 中的结点，所以二分图无奇环（结点数为奇数的环）。

二分图 (深色点为第一个集合，浅色点为第二个集合)：

DAG

DAG（Directed Acyclic Graph），即有向无环图，也就是没有环的有向图，通常用于进行拓扑排序。

DAG：

强连通图、强连通分量和缩点

在一个有向图中，若任意两个结点都可以互相到达，则该图为强连通图；
一个有向图的强连通分量（SCC）为该图的极大（不能再加入其它结点）强连通子图（子图就是从原图中选出一些点和一些边组成的图。），一个图可能有多个强连通分量；
一个有向图中，如果将所有强连通分量都缩成一个点，那么这个新的图是 DAG，将强连通分量缩成一个点的操作被称为缩点。

强连通图：

强连通分量（虽然 \(2\)、\(3\)、\(5\) 也可以组成强连通分量，但是由 \(2\)、\(3\)、\(5\)、\(6\) 组成的强连通分量才是极大的）：

缩点后的上图：

连通图、连通分量

在一个无向图中，若任意两个结点都可以互相到达，则该图为连通图，上述任意无向图均为连通图；
一个无向图的连通分量为它的极大连通子图。

连通分量（下图的连通分量为 \(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\) 组成的连通子图）：

割点、桥和双连通分量

在一个无向图中，如果存在结点，使得删除这个结点和与其连接的边后，该图的连通分量变多了，那么这个结点就是割点；
在一个无向图中，如果存在边，使得删除这条边后，该图的连通分量变多了，那么这条边就是桥；
一个无向图的极大无割点连通子图被称为这个图的点双连通分量，简称点双；
一个无向图的极大无桥连通子图被称为这个图的边双连通分量，简称边双。

割点（下图中 \(4\) 为割点）：

桥（下图中 \((1,4)\) 为桥）：

点双（下图中 \(2\)、\(3\)、\(5\)、\(6\) 组成的连通块是点双）：

边双（下图中 \(1\)、\(3\)、\(5\)、\(7\) 组成的连通块是边双）：

欧拉图和半欧拉图

在一个无向图中，如果从任一结点出发，可以经过所有边恰好一次且可以回到原点，那么这个图就是欧拉图，换言之，如果所有点的度数（连接这个点的边数）都是偶数，那么这个图就是欧拉图，这条路径就叫欧拉回路；
在一个无向图中，如果从任一结点出发，可以经过所有边恰好一次但不能回到原点，那么这个图就是半欧拉图，换言之，如果有且仅有两个点的度数是奇数，其它点的度数是偶数，那么这个图就是半欧拉图，这条路径就叫欧拉路径。

欧拉图：

半欧拉图：

反图

在一个有向图 \(G=(V(G),E(G)\) 中，若 \(V(G)\) 不变，将 \(E(G)\) 中所有边的方向都反过来，得到的新图 \(\overline{G}\) 就是 \(G\) 的反图。

反图（两张图互为反图）：

补图

在一个无向图 \(G=(V(G),E(G))\) 中，若 \(V(G)\) 不变，将 \(E(G)\) 中没有的边都加上，有的边都删掉，得到的新图 \(\overline{G}\) 就是 \(G\) 的补图，换言之，如果 \((u,v) \in E(G)\)，则 \((u,v) \notin \overline{E(G)}\)；如果 \((u,v) \notin E(G)\)，则 \((u,v) \in \overline{E(G)}\)。\(\overline{G}=(V(G),\overline{E(G)})\)，那么 \(\overline{G}\) 是 \(G\) 的补图。

补图（两张图互为补图）：

平面图

平面图指可以在平面上画出且边不相交（除了在结点处相交）的图。

平面图：

树的概念

接下来都会以这棵树为示范：

树是一种特殊的无环图，有以下几个概念：

父亲（父结点）

树上一个点的所有边中向上那条边连着的结点是该点的父亲，除了根结点以外，一个点有且仅有一个父亲，如图，\(7\) 的父亲是 \(2\)，\(6\) 的父亲是 \(3\)。

孩子（子结点）

树上一个点的所有边中向下的边连着的结点是该点的孩子，除了叶结点以外，每个点都有孩子，一个点可能有多个孩子，如图，\(7\) 的孩子是 \(8\)，\(2\) 的孩子是 \(4\)、\(7\)。
如果 \(u\) 是 \(v\) 的父亲，那么 \(v\) 是 \(u\) 的孩子。

根结点

没有父亲的结点是这棵树的根结点，如图，\(1\) 是根结点。

叶结点

没有孩子的结点是这棵树的叶结点，一棵树可能有多个叶结点，如图，\(5\)、\(6\)、\(8\) 是叶结点。

祖先

从根结点到结点 \(v\) 的路径上，所有出现在 \(v\) 前面的结点，都是 \(v\) 的祖先 (注意：有些定义中祖先包含自己，本文不包含)，如图，\(7\) 的祖先有 \(2\)、\(1\)。

后代

所有能从结点 \(v\) 沿着向下边走到达的结点，都是 \(v\) 的后代，如图，\(2\) 的后代有 \(4\)、\(5\)、\(8\)、\(7\)。

兄弟

有相同父亲的两个结点是兄弟，如图，\(4\) 和 \(7\) 是兄弟。

深度

一个结点到根结点的边数为这个结点的深度，特别的，根结点的深度为 \(0\)（其实也可以定义为一个结点到根节点的点数为这个节点的深度，根节点的深度为 \(1\)，两种方法都有人用），如图，\(7\) 的深度为 \(2\)。

高度

一个树所有结点的最大深度为这棵树的高度，图上这棵树的高度为 \(3\)。

子树

一个结点删掉与父亲相连的边后，该结点所在的子图被称为子树，如图，\(2\) 的子树含有 \(2\)、\(4\)、\(5\)、\(8\)、\(7\) 这些结点。

注意，以上概念只适用于有根树，至于无根树，就要先建一个根。