信息安全

K1=2....C=2m+3 mod 26...

K2=0,1,2,...,25

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Plaintext=明文：China is a great country

bug : Exception in thread "main" java.lang.IllegalStateException: Scanner closed
at java.util.Scanner.ensureOpen(Scanner.java:1070)

原因：

Scanner对象被关闭了多次！！这是不可以的，scanner流创建对象的时候，就开启了，中途关闭后边又重新创建的话，还是属于同一个scanner的流，所以不能提前关闭！

读一下Scanner，的源码就知道它是最终对象，

所以

解决方法：把scanner流的对象在最后关闭，而且只关闭一次，即可！

如何求逆元？

首先解释模意义是什么?

定义

在数学中，模意义下通常指在模n的意义下进行运算。例如，a mod n表示a除以n的余数，a ≡ b (mod n)表示a和b在模n的意义下同余。

理解

在数学中，我们经常会遇到一些运算，例如加减乘除等等。而在模意义下，我们对这些运算进行了一些限制，使得它们只在特定的范围内有效。这个范围就是模数n。

举个例子，如果我们要计算13除以5的余数，我们可以用13 mod 5来表示。这里的mod就是模运算符号，表示取余数。在这个例子中，13除以5的余数是3，所以13 mod 5 = 3。

另一个例子是同余符号≡。如果a和b在模n的意义下同余，我们可以写成a ≡ b (mod n)。这个符号表示a和b除以n的余数相同。例如，7 ≡ 2 (mod 5)，因为7和2都除以5的余数是2。

什么是逆元？

在模意义下，一个数的逆元就是这个数和它相乘后的结果等于1。比如，a * b ≡ 1 (mod p)，那么a，b互为模p意义下的逆元。

逆元的定义是：如果整数a和b满足ab≡1(mod m)，那么我们称b是a关于模m的逆元。在模m意义下，每个与m互质的整数都有且仅有一个逆元。

其中

a * b ≡ 1 (mod p)的意思是a*b和1在模p的意义下同余。这个式子也可以写成a * b = 1 + k * p，其中k是一个整数。

而这个式子“a * b = 1 + k * p” 意思其实就是，a*b mod p 的余数是 1 呀。

17 * 5 = 85 = 1 + k * 23

得到这个k等于？如果k = 3 ，则 3*23=69 ，85 - 69 = 16 ，显然，17的在mod23意义下的逆元不等于5（所以new bing在胡言乱语）

原因是：数字1在模意义下的任何结果都是等于1的。这是因为在模意义下，我们只考虑余数，而不考虑商。因此，无论我们除以什么数，只要余数是1，那么结果就是1。

唯一性

一个数的逆元是唯一的

如何求逆元？

求一个数的逆元有多种方法，其中包括扩展欧几里得算法、费马小定理、递推求逆元等。

欧几里得算法

以下是扩展欧几里得算法的计算步骤：²

对于两个正整数a和b，令r0=a，r1=b。
如果ri+1=0，则gcd(a,b)=ri，计算结束。
否则计算qi=ri/ri+1和ri+2=ri−qi*ri+1。
重复步骤2和3直到ri+1=0为止。
此时gcd(a,b)=rn。

如果gcd(a,p)=1，则a在模p意义下有逆元，且可以用扩展欧几里得算法求出。

例子

扩展欧几里得算法是求解形如ax+by=gcd(a,b)的一元二次不定方程的方法。在求逆元时，我们可以将a和b分别设为原数和模数，然后使用扩展欧几里得算法来求解。如果a和b互质，那么x就是a关于b的逆元。

下面是求解逆元的步骤：

设a和b分别为原数和模数，令x0=1，y0=0，x1=0，y1=1。
用辗转相除法求出a和b的最大公约数gcd(a,b)。
用辗转相除法的过程中，每次更新x和y的值：x(i+1)=x(i-1)-[a/b]x(i)，y(i+1)=y(i-1)-[a/b]y(i)，其中[i]表示向下取整。
当gcd(a,b)=1时，x就是a关于b的逆元。

例子1

例如，假设我们要求解17关于26的逆元。首先，我们用辗转相除法求出它们的最大公约数：

26 = 17 * 1 + 9
17 = 9 * 1 + 8
9 = 8 * 1 + 1

因此，gcd(17,26)=1。接下来，我们可以使用辗转相除法的过程中计算出来的系数来计算逆元：

9 = 26 - 17 * 1
8 = 17 - 9 * 1
1 = 9 - 8 * 1

因此，我们可以得到：（这里其实就是把8先代进去算，然后又把9代进去算，最后得到的是

1 = b * a + k * p）

1 = 9 - (17 - 9 * 1) * 1
  = -17 + 2 * 9
  = -17 + 2 * (26 - 17 * 1)
  = -3 * 17 + 2 * 26

因此，17关于26的逆元为-3（或23）。

逆元可以为负数，但是在模运算中，逆元的值一般是在模数范围内的非负整数。如果逆元为负数，那么我们可以通过加上模数来得到一个非负整数作为逆元。

所以这里我们采用23，因为逆元在模数范围内是唯一的。

例子2

假设我要求解17关于23的逆元，首先，我们用辗转相除法求出它们的最大公约数：

23 = 17 * 1 + 6
17 = 6  * 2 + 5
6  = 5  * 1 + 1

因此, gcd(17,23)=1。接下来,我们可以使用辗转相除法的过程中计算出来的系数来计算逆元:

6 = 23 - 17 * 1
5 = 17 - 6  * 2
1 = 6  - 5  * 1

因此，我们可以得到：（1 = b * a + k * p) ,这求b ，已知a = 17 ， p = 23

1 = 6 - 5 * 1
  = 6 - (17 - 6 * 2) * 1
  = -17 + 6 * 3
  = -17 + (23 - 17 * 1) * 3
  = -17 + (23 * 3 - 17 * 3 )
  = -17 + 23 * 3 - 17 *3
  = -17 * 4 + 23 * 3

得到 17 在模23 意义下的逆元为(-4) 也就是 -4 + 23 = 19

编程实现扩展欧几里得算法求逆元

package com.lovi.demo2;

public class InverseElement {

    /**
     * 求解 ax + by = gcd(a,b) 中的gcd，以及 x 和 y 的系数。
     *
     * @param a 要求解的整数 a
     * @param b 要求解的整数 b
     * @return 包含三个元素的 int 数组，分别是 gcd(a,b) 和 a, b 的系数 x, y
     */
    public static int[] extEuclid(int a, int b) {
        if (b == 0) {
            // 当 b=0 时，gcd(a,0)=a，此时 x=1，y=0
            return new int[]{a, 1, 0};
        }
        // 递归调用，求解 gcd(b, a mod b) 和 b、a mod b 的系数 x_, y_
        int[] r = extEuclid(b, a % b);
        // 求解 a,b 的系数 x,y
        int x = r[2];
        int y = r[1] - a / b * r[2];
        // 将结果封装成数组返回
        return new int[]{r[0], x, y};
    }

    /**
     * 求解 a 在模 p 意义下的逆元。
     *
     * @param a 要求解的整数 a
     * @param p mod p 的值
     * @return a 在模 p 意义下的逆元，如果不存在逆元则返回 -1
     */
    public static int inverse(int a, int p) {
        int[] r = extEuclid(a, p);
        // 如果 gcd(a,p)!=1，则 a 在模 p 意义下没有逆元
        if (r[0] != 1) {
            return -1;
        }
        // 根据扩展欧几里得算法，a 在模 p 意义下的逆元就是 x
        int x = r[1];
        if (x < 0) {
            // 如果 x<0，则加上 p 的值即可
            x += p;
        }
        return x;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // 测试 a=3，p=11 的情况
        int a = 17;
        int p = 23;
        int inv = inverse(a, p);
        if (inv == -1) {
            System.out.println(a + " 在模 " + p + " 意义下没有逆元");
        } else {
            System.out.println(a + " 在模 " + p + " 意义下的逆元是 " + inv);
        }
    }
}

费马小定理求逆元

费马小定理是求逆元的一种方法。如果a和p互质，那么a在模p意义下的逆元就是a^(p-2)。

以下是一个简单的例子：
假设我们要求17在模23意义下的逆元，那么根据费马小定理，我们有：
17^(23-2) ≡ 17^21 ≡ 1 (mod 23)
所以17在模23意义下的逆元就是17^21 ≡ 1 (mod 23)。

递推的方式求逆元

编程实现扩展递推算法求逆元

package com.lovi.demo2;

public class inverse {

    public static int inverse(int a, int p) {
        if (a == 1) return 1;
        return -(p / a) * inverse(p % a, p) % p;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int a = 17;//要求逆元的数
        int p = 23;//在mod p 的意义下求逆元
        int b = inverse.inverse(a,p);//结果
        if(b<0){
            b +=p;
        }
        System.out.println("数"+a+"在模"+p+"意义下的唯一逆元为："+b);
    }

}

输出为：数17在模23意义下的唯一逆元为：19

作业1

题目：欧拉函数φ(m)是这样定义的：当m>1时，φ(m)表示比m小且与m互素的正整数的个数。计算
（1）φ(8)，并列举出这些正整数；

（2）φ(2)，并列举出这些正整数；

（3）若m是素数，则φ(m)=m-1，要求证明；

（4）若m=pq，且p,q是互异的素数，则有φ(m)=（p-1)(q-1)，要求证明。

（1）φ(8) 表示比 8 小且与 8 互素的正整数的个数。由于 8 的因数为 1，2，4，8，而只有 1，3，5，7 与 8 互素，因此 φ(8) 等于 4。列举出了这些正整数。

（2）φ(2) 表示比 2 小且与 2 互素的正整数个数。由于只有 1 与 2 互素，因此 φ(2) 等于 1。列举出了这些正整数。

（3）假设 m 是素数，那么除了 1 和 m 本身，没有其它正整数与它互素。因此，比 m 小且与 m 互素的正整数个数为 m-1，即 φ(m)=m-1。

（4）假设 m=pq，其中 p，q 是互异的素数。因为 p 和 q 是互异的，所以比 m 小且与 m 互素的正整数要么与 p 互素且与 q 互素，要么与 p 不互素且与 q 互素，要么与 p 不互素且与 q 不互素。因此，我们可以把比 m 小且与 m 互素的正整数分为以下三类：

与 p 互素且与 q 互素的正整数，共有 φ(p)×φ(q) 个；
- 对于 φ(p)×φ(q) 个
  - 这里可以用乘法原理来推导。
    
    如果一个正整数 k 既与 p 互素，又与 q 互素，那么我们可以通过以下步骤构造出一个 p×q 的正整数 N，使得 k 为 N 的因数：
    - 把 k 乘以 p，得到 kp；
    - 把 kp 再乘以 q，得到 kpq。
    反过来，如果一个正整数 N 可以分解成 p×q 的形式，那么我们可以通过以下步骤得到它的因数：
    - 计算 N 除以 p 的商和余数，得到 N = kp + r，其中 r 是小于 p 的正整数；
    - 计算 N 除以 q 的商和余数，得到 N = kq + r'，其中 r' 是小于 q 的正整数。
    由于 p 和 q 是互异的素数，因此 kp 和 kq 一定不相等，也就是说，上述构造方式中得到的两个因数不同。因此，比 m 小且与 m 互素的正整数与 p，q 的乘积是一一映射的，也就是说，它们的个数等于φ(p)×φ(q)。
- 对于一一映射
  - 比 m 小且与 m 互素的正整数与 p，q 的乘积之间存在一种双向映射关系，其中任意一个比 m 小且与 m 互素的正整数都可以唯一地表示成 p，q 的乘积的形式，而任意一个 p，q 的乘积也都可以唯一地表示成比 m 小且与 m 互素的正整数的形式。
与 p 不互素且与 q 互素的正整数，共有 (p-1) 个；
与 p 不互素且与 q 不互素的正整数，共有 (q-1) 个。

因此，比 m 小且与 m 互素的正整数的总数为 φ(m) = φ(p)×φ(q) + (p-1) + (q-1) = (p-1)×(q-1)，即 φ(m) = (p-1)(q-1)。

数字证书使用报告

报告

作者：沈晴

日期：2023 年 3 月 30 日

摘要

本报告通过深入了解某银行网站获得数字证书的过程，并说明数字证书的使用方法和步骤，以提高用户对数字证书的认知度和使用效率。

一、数字证书的概念

数字证书（Digital Certificate）是由受信任的第三方机构（如数字证书认证机构）颁发的一种电子凭证。它用于证明某个公钥与特定主体的身份信息相对应，提供了身份验证和数据传输完整性保护的功能。数字证书有时也被称为公钥证书。

二、数字证书的获得过程

在深入介绍数字证书的使用方法之前，我们首先需要了解数字证书的获得过程。以下步骤以某银行网站为例：

先在银行网站中选择数字证书申请途径，可能有网上申请、柜面申请等多种方式；
根据页面提示填写申请表格，包括用户信息、证书信息等；
进行身份验证，即需要输入身份证等相关信息进行验证；
缴纳证书费用，某些证书需要收取一定费用才能颁发；
等待数字证书认证机构审核通过并颁发证书。

三、数字证书的使用方法和步骤

下载并安装数字证书：在申请到数字证书之后，需要下载并安装数字证书到本地计算机。该步骤的详细方法和步骤在不同银行网站中可能存在差异，需要根据实际情况进行操作。
备份和恢复数字证书：在安装数字证书之后，建议备份数字证书文件，以防止数字证书丢失或损坏。同时，在另外一台计算机或操作系统上使用数字证书时，可以将备份文件拷贝到该计算机并进行恢复操作，从而实现数字证书的共享。
使用数字证书进行网上银行等交易：在完成上述步骤后，就可以使用数字证书进行网上银行等交易了。在交易过程中，用户需要在网站上进行数字证书的选择和输入，以验证用户的身份和保障交易的安全性。

四、总结

本报告深入介绍了数字证书的获得过程以及使用方法和步骤。在数字证书的申请过程中，用户需要提供个人身份信息和支付一定的费用。在数字证书的使用过程中，用户需要下载并安装数字证书，并在交易过程中进行数字证书的选择和输入，以保证交易的安全性和完整性。

消息认证 3种形式（不确定）

MAC就是(Message Authentication Code, MAC)，也就是消息认证码。

下面是消息认证的三种不同形式：

原始

升级

再升级

posted @ 2023-09-20 15:58 Lovi* 阅读(84) 评论(0) 收藏举报

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如何求逆元？

编程实现扩展欧几里得算法求逆元

编程实现扩展递推算法求逆元

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