一和零（动态规划+多维背包问题）

题目

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给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的大小，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它
含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。
示例 2：

输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

提示：

1 <= strs.length <= 600
1 <= strs[i].length <= 100
strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
1 <= m, n <= 100

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解题思路

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第一次碰到这样的题，今天一口气刷了两道，两道都是动态规划问题，并且本题是多维的背包0/1问题。多维背包问题和一维背包问题很像，但是有时可以进行空间上的优化。不太明白背包问题的可以看下这个视频bilili

对于背包问题，最重要的就是得到背包的状态转移方程，对于本题状态方程应该为：
现有 X 种物品，每种物品体积为 Wx ，价值为 Vx

ans[x][j + wx][k + wx] = max(ans[x - 1][i + wx][k + wx], ans[x - 1][i][k] + vx)

当背包放得下时用上面的状态方程进行背包状态的更新

/*放得下但不放*/
ans[x - 1][i + wx][k + wx]
/*移除体积后，放入*/
ans[x - 1][i][k] + vx

对于本题，可以维护一个三维数组来记录状态。

int ans[strsSize + 1][m + 1][n + 1];

第一维表示添加第i个字符串，m，n分别表示0，1的剩余空间。
三重循环更新背包状态。

for(int j = 0; j <= m; ++j){
    for(int k = 0; k <= n; ++k){
        if(j >= mc && k >= nc){//放得下,看放不放
            ans[i][j][k] = max(ans[i - 1][j][k], ans[i - 1][j - mc][k - nc] + 1);
        }else{//放不下
            ans[i][j][k] = ans[i - 1][j][k];
        }
    }
}

完整代码如下：

void get_count(char *str, int *mc, int *nc){
    int m = 0, n = 0;
    for(int i = 0; str[i]; i++){
        if(str[i] == '0'){
            m++;
        }
        if(str[i] == '1'){
            n++;
        }
    }
    *mc = m;
    *nc = n;
}

int max(int a, int b){
    return a > b ? a : b;
}

int findMaxForm(char ** strs, int strsSize, int m, int n){
    int ans[strsSize + 1][m + 1][n + 1];
    memset(ans, 0, sizeof(ans));
    for(int i = 1; i <= strsSize; i++){
        int mc, nc;
        get_count(strs[i - 1], &mc, &nc);
        for(int j = 0; j <= m; ++j){
            for(int k = 0; k <= n; ++k){
                if(j >= mc && k >= nc){//放得下,看放不放
                    ans[i][j][k] = max(ans[i - 1][j][k], ans[i - 1][j - mc][k - nc] + 1);
                }else{
                    ans[i][j][k] = ans[i - 1][j][k];
                }
            }
        }
    }
    return ans[strsSize][m][n];
}