洛谷 P7542 MALI 题解

又双叒叕水了一篇题解...

题目简述

对于两个序列 A，序列 B，长度一致；

共 \(n\) 次操作，

每次操作都会向这两个序列增加数字。

在每次操作后，要求对每个序列中的每个数字配对，要让配对数之和的最大值最小。

Solution

贪心。

对每时每刻的序列排序，\(a\) 中从小到大与 \(b\) 中从大到小配对。

证明：

对于序列中最小的 \(a_i\)，序列最大的\(b_j\)，

若将 \(a_i\) 替换成 \(a_k\) 且 \(a_k>a_i\) ，此时必有 \(a_k+b_j>a_i+b_j\)，不必原计划更优；

若将 \(b_j\) 替换成 \(b_k\)，且 \(b_j<b_k\)，则必有 \(a_z>a_i\) 需要与 \(b_j\) 配对。所以必有更大值 \(a_z+b_j>a_i+b_j\)，也不必原计划更优。

所以，每次选择最小和最大的配对可以得到最优解。

可惜直接排序时间复杂度不够。

时间复杂度为 \(O(n^2\log n)\)，\(n\leq 10^5\)，超时。

优化。

1、桶优化

发现 \(1\leq a_i,b_j\leq 100\)，所以考虑直接桶排。

时间复杂度降为 \(O(n^2)\)。

2、连续配对优化

发现当 \(a_i,b_j\) 出现多次时，会直接配出 \(\min(a_i,b_j)\) 组一样的配对。

所以对于桶中 \(a_i,b_j\) ，每次配对时，对应减少 \(\min(a_i,b_j)\) 即可。

最坏时间复杂度为 \(O(100n)\) ，不会超时。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[101],b[101];
int am[101],bm[101];

int main()
{
	int n,k,maxn=-414231;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		maxn=-414231;
		cin>>k,am[k]++;
		cin>>k,bm[k]++;  //优化1
		memcpy(a,am,sizeof(am));
		memcpy(b,bm,sizeof(bm)); //复制桶
		int l=1,r=100;
		while(r>=1&&l<=100)
		{
			while(!a[l]) l++;
			while(!b[r]) r--;
			if(r<1||l>100) break;
			maxn=max(maxn,l+r);
			minx=min(a[l],b[r]);
			a[l]-=minx;b[r]-=minx;  //优化2
		}
		cout<<maxn<<endl;
	}
	return 0;
}

---

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