关于拓补排序

拓补排序，可以简单理解成这样：

一个有向无环图（DAG），对于任意一条出现的边 \((u,v)\)，在排序的结果中保证 \(u\) 在 \(v\) 的前面。

对于这个 DAG，有拓补排序 \(2 \to 8 \to 0 \to 3 \to 7 \to 1 \to 5 \to 6 \to 9 \to 4 \to 11 \to 10 \to 12\)，供手推。

（源自oi-wiki）

拓补排序，多用 Kahn -> 奇怪的算法。

有一任意顺序的队列 \(S\)，初始化为所有入度为 0 的节点。

每次操作，都从 \(S\) 中取出一个入读为 0 的节点 \(u\)，先将 \(u\) 推入列表 \(Ans\) 中，再将 \(u\)（以及与 \(u\) 有关的边 \(\to\) 其实就是所有 \((u,v_i)\) 边，因为已经保证入读为 0）删掉。

操作直到 \(S\) 为空。

若在图中依然有 点 or 边，即代表这不是 DAG。（也可以写成 \(Ans\) 没有排完 \(n\) 个节点）

合理性证明

考虑一个图，删掉某个入度为 的节点之后，如果新图可以拓扑排序，那么原图一定也可以。反过来，如果原图可以拓扑排序，那么删掉后也可以。

（迷，但有点不迷，至少会了）

注： 这样排出的序并不是整体有序的（就是有可能还有字典序更小/大的排列）。

要是要求字典序最小的，直接将队列 \(S\) 改为优先队列即可（直接比较元素序号大小）。

Ans ← 包含已排序元素的空列表
S ← 所有 入度=0 节点 的集合/队列
while S 非空 do
	从 S 中删除节点 n
	将 n 插入 Ans
	对于具有从 n 到 m 的 边 e 的每个节点 m，（即对于所有边 e(n,m) ） do
		从图中删除 边 e
		如果 m 入度也为 0，则
			将 m 插入 S
if 图 有边 那么
	返回错误（图形至少有一个环 (DAG)）
else
	返回 Ans（拓扑排序顺序）

模板：

bool toposort() {
	queue<int> q;
	for (i = 0; i < n; i++)
		if (in_deg[i] == 0) q.push(i);  //in_deg[i] 为节点 i 的度数
	vector<int> ans;
	while (!q.empty())
    {
		int u = q.front();q.pop();
		ans.push_back(u);
		for each edge(u, v)  //此处为伪代码
        {
			if (--in_deg[v] == 0) q.push(v);
		}
	}
	if (ans.size() == n)  //排完了
    {
		for (i = 0; i < n; i++)
			cout << ans[i] << endl;
		return true;
	}
    else return false;
}