最长公共子序列

给定两个长度分别为 \(N\) 和 \(M\) 的字符串 \(A\) 和 \(B\)，求既是 \(A\) 的子序列又是 \(B\) 的子序列的字符串长度最长是多少。

输入格式

第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(M\)。

第二行包含一个长度为 \(N\) 的字符串，表示字符串 \(A\)。

第三行包含一个长度为 \(M\) 的字符串，表示字符串 \(B\)。

字符串均由小写字母构成。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

\(1 \le N,M \le 1000\)

输入样例：

4 5
acbd
abedc

输出样例：

3

分析

f[i][j] 表示在第一个序列的前i个字母中出现并且在第二个序列的前j个字母中出现的最大值
以第i个和第j个字母是否相同来划分
如果相同 f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1
如果不相同 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1])
因为如果不相同，那么此时f[i][j]的值肯定不会大于f[i - 1][j]和f[i][j - 1]的最大值
那么一定会等于f[i - 1][j]和f[i][j - 1]的最大值

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    scanf("%s%s", a + 1, b + 1);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }

    printf("%d\n", f[n][m]);

    return 0;
}