最长上升子序列

给定一个长度为 \(N\) 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式

第一行包含整数 \(N\)。

第二行包含 \(N\) 个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

\(1 \le N \le 1000\)，
\(-10^9 \le 数列中的数 \le 10^9\)

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

分析

状态表示：f[i]表示从第一个数字开始算，以w[i]结尾的最大的上升序列。- 状态计算（集合划分）：j∈(0,1,2,..,i-1), 在w[i] > w[j]时，
f[i] = max(f[i], f[j] + 1)。
有一个边界，若前面没有比i小的，f[i]为1（自己为结尾）。

• 最后在找f[i]的最大值。
  时间复杂度O(n²)

代码实现

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n;
int w[N], f[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> w[i];

    int mx = 1;    // 找出所计算的f[i]之中的最大值，边算边找
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        f[i] = 1;    // 设f[i]默认为1，找不到前面数字小于自己的时候就为1
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (w[i] > w[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);    // 前一个小于自己的数结尾的最大上升子序列加上自己，即+1
        }
        mx = max(mx, f[i]);
    }

    cout << mx << endl;
    return 0;
}