完全背包问题

有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 \(i\) 种物品的体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，\(N，V\)，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 \(N\) 行，每行两个整数 \(v_i, w_i\)，用空格隔开，分别表示第 \(i\) 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

\(0 \lt N, V \le 1000\)
\(0 \lt v_i, w_i \le 1000\)

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

分析

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w....)
f[i][j-v]=max( f[i-1][j-v], f[i-1][j-2v]+w....)
所以：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v]+w)

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++ )
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}
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