Kruskal求最小生成树

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 \(G=(V, E)\)，其中 \(V\) 表示图中点的集合，\(E\) 表示图中边的集合，\(n=|V|\)，\(m=|E|\)。

由 \(V\) 中的全部 \(n\) 个顶点和 \(E\) 中 \(n-1\) 条边构成的无向连通子图被称为 \(G\) 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 \(G\) 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m\)。

接下来 \(m\) 行，每行包含三个整数 \(u,v,w\)，表示点 \(u\) 和点 \(v\) 之间存在一条权值为 \(w\) 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

\(1 \le n \le 10^5\),
\(1 \le m \le 2*10^5\),
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 \(1000\)。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

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分析

克鲁斯卡尔算法的核心思想是从小到大选择边，每次选择一条边时，检查它是否会导致环路的形成，如果不会就将这条边加入最小生成树中。算法保证了最终得到的图是连通的，并且具有最小的总权重。

代码实现

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int p[N];

struct Edge
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }

    int t = kruskal();

    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}

//https://www.acwing.com/activity/content/code/content/48773/
//来源：AcWing